integral3 x^3-2 x^2-4x^3+2 x^2 d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral indefinida da função racional x^3 - 2x^2 - 4x^3 + 2x^2. O conteúdo principal é decomposição em frações parciais, e vamos precisar primeiro de divisão polinomial e depois resolver para achar os coeficientes das frações parciais.

Passo 2

Fazendo a divisão polinomial de x^3 - 2x^2 - 4 por x^3 + 2x^2 = x^2(x+2), obtemos quociente 1 e resto -4x^2 - 4. Logo:
x^3 - 2x^2 - 4x^3 + 2x^2 = 1 + -4x^2 - 4x^2(x+2)

Passo 3

Agora decomponha -4x^2 - 4x^2(x+2) em frações parciais:
-4x^2 - 4x^2(x+2) = Ax + Bx^2 + Cx+2
Multiplicando tudo por x^2(x+2) e comparando coeficientes, achamos
A + C = -4,
2A + B = 0,
2B = -4 implies B = -2
Daí 2A - 2 = 0 A = 1 e C = -4 - A = -5.

Passo 4

Substituindo de volta, a integral vira
integral x^3 - 2x^2 - 4x^3 + 2x^2,dx = integral l(1 + 1x - 2x^2 - 5x+2r)dx
Integramos termo a termo:
  • integral 1,dx = x
  • integral 1x,dx = ln|x|
  • integral -2x^2,dx = -2 integral x^-2dx = 2x
  • integral -5x+2,dx = -5ln|x+2|.

Passo 5

Juntando tudo e adicionando a constante de integração C, chegamos à solução final.

Resposta

x + \ln|x| + \frac{2}{x} - 5\ln|x+2| + C

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