Integrar as seguintes equações diferenciais:
[ 1,0]
[ 1,0]
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial a seguir e pede integrá‑la (ou seja, encontrar a solução geral):
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é de primeira ordem envolvendo
e . - O termo
aparece repetidamente (tanto multiplicando como em ). - O objetivo é encontrar a solução geral
de forma implícita ou explícita.
Passo 2
Organizo a equação em forma de derivada explícita para enxergar melhor uma possível estratégia. Parto de
logo, assumindo
variável independente,
Aqui dá para ver que a combinação
aparece no numerador e no denominador: isso sugere a substituição conveniente
porque simplifica a expressão. Não estou alegando teoria demais: é apenas observar padrões — quando uma combinação linear aparece várias vezes, tentar uma substituição do tipo
combinação costuma ajudar.
Passo 3
Calculo a derivada de
em relação a
. Como
,
Substituo
que encontramos:
Agora faço álgebra para simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro escrevo com denominador comum:
Factorizo o numerador:
Passo 4
A equação para
ficou separável. Reescrevo isolando termos de
de um lado e
do outro:
Antes de integrar, decomponho a fração para integrar facilmente. Faço a divisão algébrica:
porque
. Então
Agora integro cada termo (explico rapidamente as integrais usadas):
-
. -
(regra padrão da integral de ). -
.
Portanto,
onde
é constante de integração.
Passo 5
Volto à variável original substituindo
:
Organizo para ficar mais compacto. Levo
para o lado direito:
e divido tudo por
(absorvendo constante em outra constante):
onde
é constante arbitrária. Posso rearranjar em forma mais habitual de constante única:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, só para ter certeza): diferencio implicitamente a solução
para checar se retorna à equação original. Derivando:
Isolando
e fazendo as contas (álgebra direta) recupera-se
que é exatamente a equação diferencial inicial. Então a solução está consistente.