Integrar as seguintes equações diferenciais:
[ 1,0]
(x+2 y-3) d y-(x+2 y) d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial a seguir e pede integrá‑la (ou seja, encontrar a solução geral):
(x+2y-3)\,dy-(x+2y)\,dx=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é de primeira ordem envolvendo x e y.
  • O termo x+2y aparece repetidamente (tanto multiplicando dx como em dy).
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) de forma implícita ou explícita.

Passo 2

Organizo a equação em forma de derivada explícita para enxergar melhor uma possível estratégia. Parto de
(x+2y-3)\,dy=(x+2y)\,dx,
logo, assumindo x variável independente,
\frac{dy}{dx}=\frac{x+2y}{\,x+2y-3\,}.
Aqui dá para ver que a combinação x+2y aparece no numerador e no denominador: isso sugere a substituição conveniente
u = x+2y,
porque simplifica a expressão. Não estou alegando teoria demais: é apenas observar padrões — quando uma combinação linear aparece várias vezes, tentar uma substituição do tipo u= combinação costuma ajudar.

Passo 3

Calculo a derivada de u em relação a x. Como u=x+2y,
\frac{du}{dx}=1+2\frac{dy}{dx}.
Substituo \dfrac{dy}{dx} que encontramos:
\frac{du}{dx}=1+2\cdot\frac{u}{u-3}.
Agora faço álgebra para simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro escrevo com denominador comum:
\frac{du}{dx}=\frac{u-3+2u}{u-3}=\frac{3u-3}{u-3}.
Factorizo o numerador:
\frac{du}{dx}=3\cdot\frac{u-1}{u-3}.

Passo 4

A equação para u(x) ficou separável. Reescrevo isolando termos de u de um lado e x do outro:
\frac{u-3}{u-1}\,du=3\,dx.
Antes de integrar, decomponho a fração para integrar facilmente. Faço a divisão algébrica:
\frac{u-3}{u-1}=1-\frac{2}{u-1},
porque u-3=(u-1)-2. Então
\int\left(1-\frac{2}{u-1}\right)\,du=\int 3\,dx.
Agora integro cada termo (explico rapidamente as integrais usadas):
  • \displaystyle \int 1\,du = u.
  • \displaystyle \int \frac{1}{u-1}\,du = \ln|u-1| (regra padrão da integral de 1/(u-a)).
  • \displaystyle \int 3\,dx = 3x + C.
Portanto,
u-2\ln|u-1|=3x+C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Volto à variável original substituindo u=x+2y:
x+2y-2\ln|x+2y-1|=3x+C.
Organizo para ficar mais compacto. Levo x para o lado direito:
2y-2\ln|x+2y-1|=2x+C,
e divido tudo por 2 (absorvendo constante em outra constante):
y-\ln|x+2y-1|=x+C_1,
onde C_1 é constante arbitrária. Posso rearranjar em forma mais habitual de constante única:
y-x-\ln|x+2y-1|=C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, só para ter certeza): diferencio implicitamente a solução
y-x-\ln|x+2y-1|=C
para checar se retorna à equação original. Derivando:
\frac{dy}{dx}-1-\frac{1+2\frac{dy}{dx}}{x+2y-1}=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx} e fazendo as contas (álgebra direta) recupera-se
\frac{dy}{dx}=\frac{x+2y}{x+2y-3},
que é exatamente a equação diferencial inicial. Então a solução está consistente.

Resposta

y-x-\ln\bigl|x+2y-1\bigr|=C

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