Resolva as inequações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas:
- A incógnita é
(número real). - Ambas as expressões dentro dos módulos,
e , são funções reais de . - Queremos o conjunto de todos os
que tornam verdadeira a desigualdade estrita .
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): o valor absoluto de um número
, escrito
, é sempre não negativo e representa a distância de
até zero. Assim,
para todo
.
Regra prática que usaremos: se
e
, então a desigualdade
é equivalentemente
. Isso vale porque a função
é estritamente crescente no intervalo
. No nosso caso,
e
são não negativas, então podemos elevar ambos os membros ao quadrado sem alterar o sinal da desigualdade.
Passo 3
Aplicando a ideia do passo anterior, elevamos ao quadrado ambos os lados:
Passo 4
Para resolver
é conveniente usar a fatoração pela diferença de quadrados:
Lembrando que
, temos
Passo 5
Calculemos cada fator:
Logo a desigualdade vira
Como
, podemos dividir por
sem mudar o sinal:
Passo 6
Agora resolvemos
. Primeiro achamos as raízes do produto:
Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
,
e
. Vamos analisar o sinal do produto
em cada intervalo:
- Se
(por exemplo ): é negativo e é positivo produto negativo. - Se
(por exemplo ): é positivo e é positivo produto positivo. - Se
(por exemplo ): é positivo e é negativo produto negativo.
Queremos onde o produto é negativo, portanto os intervalos que satisfazem são
e
. Note que em
e
o produto é zero, mas a desigualdade é estrita
, então esses pontos não fazem parte da solução.
Passo 7
Verificação rápida com exemplos para ganhar confiança:
-
: e , (verdadeiro). -
: e , (falso). -
: e , (verdadeiro).
Esses testes confirmam que
faz sentido.