Resolva as inequações:
|x+1|<|2 x-1|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
|x+1|<|2x-1|.
Informações dadas:
  • A incógnita é x (número real).
  • Ambas as expressões dentro dos módulos, x+1 e 2x-1, são funções reais de x.
  • Queremos o conjunto de todos os x que tornam verdadeira a desigualdade estrita <.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o valor absoluto de um número y, escrito |y|, é sempre não negativo e representa a distância de y até zero. Assim, |y|\ge 0 para todo y.
Regra prática que usaremos: se A\ge0 e B\ge0, então a desigualdade |A|<|B| é equivalentemente A^2<B^2. Isso vale porque a função t\mapsto t^2 é estritamente crescente no intervalo [0,\infty). No nosso caso, |x+1| e |2x-1| são não negativas, então podemos elevar ambos os membros ao quadrado sem alterar o sinal da desigualdade.

Passo 3

Aplicando a ideia do passo anterior, elevamos ao quadrado ambos os lados:
(x+1)^2<(2x-1)^2.

Passo 4

Para resolver (x+1)^2<(2x-1)^2 é conveniente usar a fatoração pela diferença de quadrados:
(x+1)^2-(2x-1)^2<0.
Lembrando que a^2-b^2=(a-b)(a+b), temos
\bigl((x+1)-(2x-1)\bigr)\bigl((x+1)+(2x-1)\bigr)<0.

Passo 5

Calculemos cada fator:
(x+1)-(2x-1)=x+1-2x+1=-x+2,
(x+1)+(2x-1)=x+1+2x-1=3x.
Logo a desigualdade vira
(-x+2)\cdot 3x<0.
Como 3>0, podemos dividir por 3 sem mudar o sinal:
x(2-x)<0.

Passo 6

Agora resolvemos x(2-x)<0. Primeiro achamos as raízes do produto:
x=0\quad\text{e}\quad 2-x=0\Rightarrow x=2.
Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,0), (0,2) e (2,\infty). Vamos analisar o sinal do produto x(2-x) em cada intervalo:
  • Se x<0 (por exemplo x=-1): x é negativo e 2-x é positivo \Rightarrow produto negativo.
  • Se 0<x<2 (por exemplo x=1): x é positivo e 2-x é positivo \Rightarrow produto positivo.
  • Se x>2 (por exemplo x=3): x é positivo e 2-x é negativo \Rightarrow produto negativo.
Queremos onde o produto é negativo, portanto os intervalos que satisfazem são (-\infty,0) e (2,\infty). Note que em x=0 e x=2 o produto é zero, mas a desigualdade é estrita <, então esses pontos não fazem parte da solução.

Passo 7

Verificação rápida com exemplos para ganhar confiança:
  • x=-1: |-1+1|=0 e |2(-1)-1|=3, 0<3 (verdadeiro).
  • x=1: |1+1|=2 e |2-1|=1, 2<1 (falso).
  • x=3: |3+1|=4 e |6-1|=5, 4<5 (verdadeiro).
Esses testes confirmam que (-\infty,0)\cup(2,\infty) faz sentido.

Resposta

x\in(-\infty,0)\cup(2,\infty)

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