Integre a função.
\int \frac{1}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}} d x=

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
\int \frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é o uso das funções hiperbólicas, pois
e^{x}+e^{-x}=2\operatorname{cosh} x
e sabemos que \dfrac{d}{dx}\operatorname{tanh} x=\sech^{2}x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em termos de \operatorname{cosh} x e \sech x. Como
e^{x}+e^{-x}=2\operatorname{cosh} x
temos
\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}=4\operatorname{cosh}^{2}x
e portanto
\frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}} =\frac{1}{4\operatorname{cosh}^{2}x} =\frac{1}{4}\sech^{2}x.

Passo 3

Agora a integral fica
\int \frac{1}{4}\sech^{2}x\,dx =\frac{1}{4}\int \sech^{2}x\,dx.
Como sabemos que
\frac{d}{dx}\operatorname{tanh} x=\sech^{2}x,
seguimos que
\int \sech^{2}x\,dx=\operatorname{tanh} x + C.

Passo 4

Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4}, obtemos
\frac{1}{4}\int \sech^{2}x\,dx =\frac{1}{4}\,\operatorname{tanh} x + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{1}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx =\frac{1}{4}\,\operatorname{tanh} x + C.}

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