1. Integre G(x, y, z)=x sobre a superfície dada por
z=x^{2}+y \quad \text { para } \quad 0 \leq x \leq 1, \quad-1 \leq y \leq 1 .

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral de superfície da função escalar G(x,y,z)=x sobre a superfície
S:\;z = x^2 + y,\quad 0\le x\le1,\;-1\le y\le1.
O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar. Vamos usar a fórmula
\iint_{S}G\,dS \;=\;\iint_{D}G\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)\,\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\;dA,
onde f(x,y)=x^2+y e D é o domínio em xy-plano: \{0\le x\le1,\,-1\le y\le1\}.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+y:
f_x = 2x,\quad f_y = 1.
O fator de correção da área é
\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \;=\;\sqrt{1 + (2x)^2 + 1^2} \;=\;\sqrt{4x^2 + 2}.

Passo 3

Substituindo em \iint_{S}x\,dS obtemos
\iint_{S}x\,dS =\int_{x=0}^{1}\int_{y=-1}^{1} x\;\sqrt{4x^2+2}\;dy\,dx.

Passo 4

Primeiro integramos em y, que é independente de y:
\int_{y=-1}^{1}dy = 2,
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\iint_{S}x\,dS =2\int_{0}^{1}x\,\sqrt{4x^2+2}\;dx.

Passo 5

Para avaliar \displaystyle \int_{0}^{1}x\sqrt{4x^2+2}\,dx, faça a substituição
u = 4x^2+2,\quad du = 8x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{8}.
Quando x=0, u=2; quando x=1, u=6. Então
\int_{0}^{1}x\sqrt{4x^2+2}\,dx =\frac{1}{8}\int_{u=2}^{6}u^{1/2}\,du =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2}\Big|_{2}^{6} =\frac{1}{12}\Bigl(6^{3/2}-2^{3/2}\Bigr).

Passo 6

Voltando ao integral de superfície, multiplicamos por 2:
\iint_{S}x\,dS =2\cdot\frac{1}{12}\Bigl(6^{3/2}-2^{3/2}\Bigr) =\frac{1}{6}\Bigl(6\sqrt{6}-2\sqrt{2}\Bigr) =\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\boxed{\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{3}}.

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