1. Centroide Encontre o centroide da superfície cortada do cilindro y^{2}+z^{2}=9, z \geq 0, pelos planos x=0 e x=3 (lembre-se da superfície no Exemplo 5).

Passo 1

O enunciado pede o centroide da superfície lateral definida pelo cilindro y^{2}+z^{2}=9, com z\ge0, para 0\le x\le3. Vamos usar a fórmula do centroide de uma superfície S de densidade unitária:
\bar x=\frac{1}{A}\iint_{S}x\,dS,\quad \bar y=\frac{1}{A}\iint_{S}y\,dS,\quad \bar z=\frac{1}{A}\iint_{S}z\,dS,
onde A=\iint_{S}dS.

Passo 2

Parametrizamos a superfície em coordenadas cilíndricas adaptadas:
\mathbf r(x,\theta)=\bigl(x,\;3\cos\theta,\;3\sin\theta\bigr),
com 0\le x\le3 e 0\le\theta\le\pi (metade do cilindro, pois z\ge0).

Passo 3

Calculamos o elemento de área. Temos
\mathbf r_{x}=(1,0,0),\qquad \mathbf r_{\theta}=(0,-3\sin\theta,3\cos\theta),
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dS=\bigl\lvert\mathbf r_{x}\times\mathbf r_{\theta}\bigr\rvert\,dx\,d\theta =3\,dx\,d\theta.

Passo 4

O valor de A é
A=\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{\pi}3\,d\theta\,dx =3\cdot3\cdot\pi =9\pi.

Passo 5

Para \bar x:
\bar x =\frac{1}{9\pi} \int_{0}^{3}\!\int_{0}^{\pi}x\cdot3\,d\theta\,dx =\frac{3}{9\pi}\Bigl(\int_{0}^{3}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi}d\theta\Bigr) =\frac{3}{9\pi}\cdot\frac{9}{2}\cdot\pi =\frac{3}{2}.

Passo 6

Para \bar y:
\bar y =\frac{1}{9\pi} \int_{0}^{3}\!\int_{0}^{\pi}(3\cos\theta)\,3\,d\theta\,dx =\frac{9}{9\pi}\cdot3\cdot\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta =0.

Passo 7

Para \bar z:
\bar z =\frac{1}{9\pi} \int_{0}^{3}\!\int_{0}^{\pi}(3\sin\theta)\,3\,d\theta\,dx =\frac{9}{9\pi}\cdot3\cdot\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta =\frac{27\cdot2}{9\pi} =\frac{6}{\pi}.

Resposta

\bigl(\bar x,\bar y,\bar z\bigr) =\Bigl(\tfrac{3}{2},\,0,\,\tfrac{6}{\pi}\Bigr).

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