Integre na ordem mais conveniente a integral dupla
, sendo D a região limitada pelas retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
,
e
. Listei as informações importantes:
- A integranda é
. - As fronteiras são as retas
(eixo ), (eixo ) e . - A região
é, portanto, o triângulo com vértices .
A tarefa é calcular o valor numérico da integral sobre.
Passo 2
Decidir a ordem de integração e escrever os limites: é mais conveniente integrar primeiro em
, porque a integranda é racional em
multiplicada por
, e os limites em
são simples (de
até a reta
). Assim o integral iterado é
Explicando: para cada
fixo entre
e
,
varia desde
até
, que é a interseção com a reta
.
Passo 3
Calcular a integral interna em
. Como
é constante em relação a
, temos
Agora uso a fórmula básica de integração de potência: para
,
Aqui
, então
. Assim
Passo 4
Substituir o resultado da integral interna na integral em
:
Agora vamos calcular essa integral em uma variável. Para simplificar, faço a substituição
então
. Quando
temos
; quando
temos
. Observe que
. Portanto
Passo 5
Expandir o numerador e escrever a integranda como soma de potências de
:
logo
Portanto
Passo 6
Integrar termo a termo usando a regra
(para
):
-
, -
, -
.
Aplicando isto,
Simplificando os coeficientes dentro dos colchetes:
avaliado de
a
.
Passo 7
Avaliar em
e em
. Calcule as potências:
- Para
: , , . - Para
: , , .
Então o valor é
Calcule cada parte:
Subtraindo e colocando em denominador comum (15) obtemos