Integre na ordem mais conveniente a integral dupla \iint_{D} \frac{y d x d y}{\sqrt{x+1}}, sendo D a região limitada pelas retas y=0, x=0 e x+y-3=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\frac{y\,dx\,dy}{\sqrt{x+1}},
onde D é a região limitada pelas retas y=0, x=0 e x+y-3=0. Listei as informações importantes:
  • A integranda é \dfrac{y}{\sqrt{x+1}}.
  • As fronteiras são as retas y=0 (eixo x), x=0 (eixo y) e x+y=3.
  • A região D é, portanto, o triângulo com vértices \,(0,0),\,(0,3),\,(3,0).
    A tarefa é calcular o valor numérico da integral sobre D.

Passo 2

Decidir a ordem de integração e escrever os limites: é mais conveniente integrar primeiro em y, porque a integranda é racional em x multiplicada por y, e os limites em y são simples (de 0 até a reta y=3-x). Assim o integral iterado é
\iint_{D}\frac{y\,dx\,dy}{\sqrt{x+1}}=\int_{x=0}^{3}\left(\int_{y=0}^{3-x}\frac{y}{\sqrt{x+1}}\,dy\right)dx.
Explicando: para cada x fixo entre 0 e 3, y varia desde 0 até 3-x, que é a interseção com a reta x+y=3.

Passo 3

Calcular a integral interna em y. Como \sqrt{x+1} é constante em relação a y, temos
\int_{y=0}^{3-x}\frac{y}{\sqrt{x+1}}\,dy=\frac{1}{\sqrt{x+1}}\int_{0}^{3-x}y\,dy.
Agora uso a fórmula básica de integração de potência: para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=1, então \int y\,dy=\dfrac{y^{2}}{2}. Assim
\int_{y=0}^{3-x}\frac{y}{\sqrt{x+1}}\,dy=\frac{1}{\sqrt{x+1}}\cdot\frac{(3-x)^{2}}{2}=\frac{(3-x)^{2}}{2\sqrt{x+1}}.

Passo 4

Substituir o resultado da integral interna na integral em x:
\iint_{D}\frac{y\,dx\,dy}{\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{3}\frac{(3-x)^{2}}{\sqrt{x+1}}\,dx.
Agora vamos calcular essa integral em uma variável. Para simplificar, faço a substituição
u=x+1,
então du=dx. Quando x=0 temos u=1; quando x=3 temos u=4. Observe que 3-x=3-(u-1)=4-u. Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{3}\frac{(3-x)^{2}}{\sqrt{x+1}}\,dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{4}\frac{(4-u)^{2}}{u^{1/2}}\,du.

Passo 5

Expandir o numerador e escrever a integranda como soma de potências de u:
(4-u)^{2}=u^{2}-8u+16,
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\frac{(4-u)^{2}}{u^{1/2}}=u^{3/2}-8u^{1/2}+16u^{-1/2}.
Portanto
\frac{1}{2}\int_{1}^{4}\frac{(4-u)^{2}}{u^{1/2}}\,du=\frac{1}{2}\int_{1}^{4}\left(u^{3/2}-8u^{1/2}+16u^{-1/2}\right)du.

Passo 6

Integrar termo a termo usando a regra \int u^{a}\,du=\dfrac{u^{a+1}}{a+1} (para a\neq -1):
  • \displaystyle \int u^{3/2}\,du=\frac{2}{5}u^{5/2},
  • \displaystyle \int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2},
  • \displaystyle \int u^{-1/2}\,du=2u^{1/2}.
Aplicando isto,
\frac{1}{2}\left[\frac{2}{5}u^{5/2}-8\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+16\cdot 2u^{1/2}\right]_{1}^{4}.
Simplificando os coeficientes dentro dos colchetes:
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{16}{3}u^{3/2}+32u^{1/2}\right) =\frac{1}{5}u^{5/2}-\frac{8}{3}u^{3/2}+16u^{1/2}
avaliado de u=1 a u=4.

Passo 7

Avaliar em u=4 e em u=1. Calcule as potências:
  • Para u=4: u^{1/2}=2, u^{3/2}=8, u^{5/2}=32.
  • Para u=1: u^{1/2}=1, u^{3/2}=1, u^{5/2}=1.
Então o valor é
\left(\frac{1}{5}\cdot 32-\frac{8}{3}\cdot 8+16\cdot 2\right)-\left(\frac{1}{5}-\frac{8}{3}+16\right).
Calcule cada parte:
\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32 \quad\text{e}\quad \frac{1}{5}-\frac{8}{3}+16.
Subtraindo e colocando em denominador comum (15) obtemos
\frac{31}{5}-\frac{56}{3}+16=\frac{93-280+240}{15}=\frac{53}{15}.

Resposta

\dfrac{53}{15}

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