Calcule as integrais múltiplas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral múltipla
Informações dadas:
- O limite externo em
é de
até
, ou seja
.
- O limite interno em
é de
até
, ou seja
.
- A função a integrar é
.
- A ordem de integração já está dada: primeiro integrar em
(para
fixo) e depois em
.
Passo 2
Estratégia: integrar primeiro em
tratando
como constante (porque a integração interna é em relação a
). Depois obteremos uma função de
e faremos a integração em
. Vou explicar as regras que uso antes de aplicar:
- Regra do fator constante: se uma expressão depende de
e integramos em
, podemos tirar a parte que não depende de
para fora da integral. Formalmente,
quando
não depende de
.
- Regra da potência (antiderivada): para
,
No caso
temos
.
Passo 3
Calcular a integral interna
.
Aqui é constante em relação a
, então uso a regra do fator constante:
Aqui
Agora aplico a regra da potência com
:
Passo 4
Avalio a primitiva no intervalo
:
Portanto a integral interna fica
Passo 5
Agora fazemos a integral externa em
:
Posso tirar a constante
para fora:
Uso novamente a regra da potência para
:
.
Passo 6
Calculo a primitiva e avalio no intervalo
:
Esse é o valor final da integral dupla.