Calcule as integrais múltiplas:
\int_{0}^{1} \int_{1}^{3} x^{2} y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral múltipla
\int_{0}^{1} \int_{1}^{3} x^{2} y \, dy \, dx.
Informações dadas:
\; - O limite externo em x é de 0 até 1, ou seja \;x\in[0,1].
\; - O limite interno em y é de 1 até 3, ou seja \;y\in[1,3].
\; - A função a integrar é \;x^{2}y.
\; - A ordem de integração já está dada: primeiro integrar em y (para x fixo) e depois em x.

Passo 2

Estratégia: integrar primeiro em y tratando \;x como constante (porque a integração interna é em relação a y). Depois obteremos uma função de x e faremos a integração em x. Vou explicar as regras que uso antes de aplicar:
\; - Regra do fator constante: se uma expressão depende de x e integramos em y, podemos tirar a parte que não depende de y para fora da integral. Formalmente,
\int_{a}^{b} c\cdot f(y)\,dy = c\int_{a}^{b} f(y)\,dy
quando c não depende de y.
\; - Regra da potência (antiderivada): para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{1}{n+1}y^{n+1}.
No caso n=1 temos \int y\,dy = \tfrac{1}{2}y^{2}.

Passo 3

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{1}^{3} x^{2} y \, dy.
Aqui \;x^{2} é constante em relação a y, então uso a regra do fator constante:
\int_{1}^{3} x^{2} y \, dy = x^{2} \int_{1}^{3} y \, dy.
Agora aplico a regra da potência com n=1:
\int_{1}^{3} y \, dy = \left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{1}^{3}.

Passo 4

Avalio a primitiva no intervalo [1,3]:
\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{1}^{3} = \tfrac{1}{2}\bigl(3^{2} - 1^{2}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(9 - 1\bigr) = \tfrac{1}{2}\cdot 8 = 4.
Portanto a integral interna fica
\int_{1}^{3} x^{2} y \, dy = x^{2}\cdot 4 = 4x^{2}.

Passo 5

Agora fazemos a integral externa em x:
\int_{0}^{1} \bigl(4x^{2}\bigr)\,dx.
Posso tirar a constante 4 para fora:
4\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Uso novamente a regra da potência para x^{2}: \displaystyle \int x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3}x^{3}.

Passo 6

Calculo a primitiva e avalio no intervalo [0,1]:
4\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 4\left[\tfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1} = 4\left(\tfrac{1}{3}\cdot 1^{3} - \tfrac{1}{3}\cdot 0^{3}\right) = 4\cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{4}{3}.
Esse é o valor final da integral dupla.

Resposta

\tfrac{4}{3}

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