Integrem as funções compostas:
a) integral 10 xx^2+y^2 d x
Resp.: a) integral f(x, y) d x=5 ln (x^2+y^2)+ C;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. A gente precisa integrar a função composta 10xx^2 + y^2 em relação a x. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais envolvendo funções racionais e substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o denominador x^2 + y^2 é uma soma de quadrados, e o numerador é 10x. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = x^2 + y^2. Agora, derivando ambos os lados em relação a x, temos dudx = 2x, então du = 2x,dx. Nosso numerador é 10x,dx, então podemos rearranjar para obter x,dx = du2.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, ficamos com:
integral 10xx^2+y^2 dx = 10 integral xu dx = 10 integral 1u cdot du2 = 5 integral 1u du

Passo 5

Agora, sabemos que integral 1u du = ln|u| + C. Então, substituindo de volta:
5 ln|u| + C = 5 ln(x^2 + y^2) + C

Resposta

5 ln(x^2 + y^2) + C

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