Interação campo magnetico com o átomo e interação spin-órbita. Átomos multieletrônicos.
- Exprese
em termos de
e
.
- Calcule os possíveis valores de S.L para
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (1) Expressar
em termos dos números quânticos , e . - (2) Calcular os possíveis valores de
quando e .
Informações dadas:
-
. -
.
Passo 2
Primeiro vamos relacionar os operadores de momento angular. Definimos o operador total
Elevando ao quadrado obtemos (expanda e lembre que
e
são vetores operadores)
Agora isolamos
:
Isto é a relação exata entre os operadores; é a chave para escrever
em termos dos autovalores desses operadores.
Passo 3
Em estados próprio de
,
e
, os autovalores são bem conhecidos e dados por:
onde
,
e
são os números quânticos correspondentes. Substituindo esses valores na expressão do passo anterior obtemos o autovalor (valor esperado em um estado próprio comum) de
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: número quântico do momento angular total, com valores permitidos . -
: número quântico do momento orbital. -
: número quântico de spin. -
: constante de Dirac (aparece porque os autovalores de , , têm fator ).
Passo 4
Agora aplicamos ao caso específico
e
. Primeiro listamos os valores possíveis de
:
Portanto existem dois valores possíveis de
:
e
.
Passo 5
Calculemos
para
. Primeiro os termos individuais:
Agora a combinação dentro dos colchetes:
Finalmente,
Passo 6
Agora para
. Calculemos os termos:
e já temos
e
como antes. A combinação dá
Portanto
Passo 7
Interpretação rápida (para fixar a intuição): valores positivos de
indicam tendência de alinhamento paralelo entre
e
(energia de acoplamento spin-órbita aumenta ou diminui dependendo do sinal do coeficiente no Hamiltoniano), enquanto valores negativos indicam tendência anti-paralela. Aqui,
corresponde a
(parcialmente paralelo) e
a
(anti-paralelo mais forte).