Interação campo magnetico com o átomo e interação spin-órbita. Átomos multieletrônicos.
  1. Exprese S . L em termos de j, l e s.
  2. Calcule os possíveis valores de S.L para l=1 e s=1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (1) Expressar \mathbf{S}\cdot\mathbf{L} em termos dos números quânticos j, l e s.
  • (2) Calcular os possíveis valores de \mathbf{S}\cdot\mathbf{L} quando l=1 e s=\tfrac{1}{2}.
Informações dadas:
  • l=1.
  • s=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Primeiro vamos relacionar os operadores de momento angular. Definimos o operador total
\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}.
Elevando ao quadrado obtemos (expanda e lembre que \mathbf{L} e \mathbf{S} são vetores operadores)
\mathbf{J}^2=\mathbf{L}^2+\mathbf{S}^2+2\,\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}.
Agora isolamos \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}:
\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}=\tfrac{1}{2}\big(\mathbf{J}^2-\mathbf{L}^2-\mathbf{S}^2\big).
Isto é a relação exata entre os operadores; é a chave para escrever \mathbf{S}\cdot\mathbf{L} em termos dos autovalores desses operadores.

Passo 3

Em estados próprio de \mathbf{J}^2, \mathbf{L}^2 e \mathbf{S}^2, os autovalores são bem conhecidos e dados por:
\mathbf{J}^2 \to \hbar^2 j(j+1),\qquad \mathbf{L}^2 \to \hbar^2 l(l+1),\qquad \mathbf{S}^2 \to \hbar^2 s(s+1),
onde j, l e s são os números quânticos correspondentes. Substituindo esses valores na expressão do passo anterior obtemos o autovalor (valor esperado em um estado próprio comum) de \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}:
\boxed{\langle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\rangle = \frac{\hbar^2}{2}\big[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\big].}
Aqui cada símbolo significa:
  • j: número quântico do momento angular total, com valores permitidos j=|l-s|,|l-s|+1,\dots,l+s.
  • l: número quântico do momento orbital.
  • s: número quântico de spin.
  • \hbar: constante de Dirac (aparece porque os autovalores de \mathbf{L}^2, \mathbf{S}^2, \mathbf{J}^2 têm fator \hbar^2).

Passo 4

Agora aplicamos ao caso específico l=1 e s=\tfrac{1}{2}. Primeiro listamos os valores possíveis de j:
j=l+s=1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}, \qquad j=l-s=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Portanto existem dois valores possíveis de j: \tfrac{3}{2} e \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Calculemos \langle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\rangle para j=\tfrac{3}{2}. Primeiro os termos individuais:
j(j+1)=\tfrac{3}{2}\Big(\tfrac{3}{2}+1\Big)=\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{5}{2}=\tfrac{15}{4},
l(l+1)=1\cdot 2=2,
s(s+1)=\tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{1}{2}+1\Big)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{3}{4}.
Agora a combinação dentro dos colchetes:
j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)=\tfrac{15}{4}-2-\tfrac{3}{4}=\tfrac{15-8-3}{4}=\tfrac{4}{4}=1.
Finalmente,
\langle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\rangle_{j=\tfrac{3}{2}}=\frac{\hbar^2}{2}\cdot 1=\frac{\hbar^2}{2}.

Passo 6

Agora para j=\tfrac{1}{2}. Calculemos os termos:
j(j+1)=\tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{1}{2}+1\Big)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{3}{4},
e já temos l(l+1)=2 e s(s+1)=\tfrac{3}{4} como antes. A combinação dá
j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)=\tfrac{3}{4}-2-\tfrac{3}{4}=-2.
Portanto
\langle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\rangle_{j=\tfrac{1}{2}}=\frac{\hbar^2}{2}\cdot(-2)=-\hbar^2.

Passo 7

Interpretação rápida (para fixar a intuição): valores positivos de \langle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\rangle indicam tendência de alinhamento paralelo entre \mathbf{L} e \mathbf{S} (energia de acoplamento spin-órbita aumenta ou diminui dependendo do sinal do coeficiente no Hamiltoniano), enquanto valores negativos indicam tendência anti-paralela. Aqui, j=\tfrac{3}{2} corresponde a \langle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\rangle=\tfrac{\hbar^2}{2} (parcialmente paralelo) e j=\tfrac{1}{2} a \langle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\rangle=-\hbar^2 (anti-paralelo mais forte).

Resposta

\displaystyle \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}=\frac{\hbar^2}{2}\big[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\big]
\displaystyle (l=1,\;s=\tfrac{1}{2},\;j=\tfrac{3}{2})\\ \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}=\frac{\hbar^2}{2}
\displaystyle (l=1,\;s=\tfrac{1}{2},\;j=\tfrac{1}{2})\\ \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}=-\hbar^2

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