A intersecção do cilindro 
  com a esfera 
  corresponde, em coordenadas esféricas, a
a) 
b) 
c) 
d) 
e) nenhuma das alternativas anteriores.
a)
b)
c)
d)
e) nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre encontrar a intersecção entre um cilindro e uma esfera usando coordenadas esféricas. Vamos precisar entender um pouquinho sobre geometria espacial e coordenadas esféricas para chegar na resposta correta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações que temos:
- Cilindro: 
 - Esfera: 
 
Queremos encontrar onde essas duas formas se intersectam. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são uma maneira de representar pontos no espaço usando três parâmetros: 
 , 
  e 
 .
Passo 3
Nas coordenadas esféricas:
Onde:
- 
é a distância do ponto até a origem.  - 
é o ângulo no plano .  - 
é o ângulo em relação ao eixo .  
Passo 4
Vamos usar a equação da esfera primeiro. Sabemos que na esfera, 
 . Usando as coordenadas esféricas, isso fica:
Simplificando:
Então, 
 .
Passo 5
Agora, vamos usar a equação do cilindro: 
 . Substituindo pelas coordenadas esféricas:
Como já sabemos que 
 :
Passo 6
Para encontrar 
 , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Sabemos que 
  quando 
  (ou 30 graus).
Resposta
A intersecção das duas superfícies corresponde a 
 . Portanto, a alternativa correta é a c) 
 .