Para o intervalo
ciclos, desenvolva a expressão para resistência a fadiga em função do número de ciclos para espécimes polidos de aço normalizado 4130 com tensão máxima a tração igual a 875 Mpa e o limite de fadiga
. Trace o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Desenvolver a expressão da resistência à fadiga (ou tensão característica de fadiga) em função do número de ciclos
para o intervalo para espécimes polidos do aço normalizado 4130, sabendo que a tensão máxima à tração é e que o limite de fadiga (endurance limit) é . - Traçar (descrever como traçar / fornecer pontos para) o gráfico
usando a expressão dada: .
Informações dadas e úteis:
- Intervalo de interesse:
. - Tensão máxima à tração (ultimate tensile strength):
(dado). - Limite de fadiga:
(dado). - Expressão final fornecida para traçar:
(o enunciado pede que se trace o gráfico usando essa expressão).
Passo 2
Conceito e equação-base (a “aula curta”):
- A relação mais usada para ligar tensão e número de ciclos na região de vida de fadiga é a lei de Basquin, que em forma simples diz que a tensão característica de fadiga
varia como uma potência do número de ciclos :
onde:
-
é a tensão característica (em ) que provoca fadiga em ciclos; -
é uma constante (com unidades de ); -
é o expoente (adimensional), normalmente negativo (porque a tensão cai quando cresce). - Para ajustar
e costuma-se usar dois pontos conhecidos e , aplicar logaritmo e resolver o sistema:
Isso transforma em uma reta no plano
com inclinação
e intercepto
. Esse procedimento é o que normalmente se faz para obter
e
.
Passo 3
Interpretação da expressão fornecida:
- O enunciado já fornece a forma ajustada:
Vamos tratar essa expressão como a lei de Basquin com
e
. Vou explicar o que isso significa e como usá-la em prova: é exatamente a forma
com
e
determinados previamente (por ajuste experimental ou por usar dois pares
).
Passo 4
Forma logarítmica (útil para traçar o gráfico em escala log–log e para interpretar):
- Aplicando
em ambos os lados da expressão temos a forma linear:
- Aqui:
- o coeficiente angular (inclinação) da reta no gráfico
vs é ; - o intercepto vertical (quando
, isto é ) é .
- o coeficiente angular (inclinação) da reta no gráfico
Passo 5
Significado físico e consistência aproximada:
- A expressão indica que à medida que aumentamos o número de ciclos
a tensão necessária para causar falha diminui seguindo uma lei de potência. - Note que a constante
e o expoente foram obtidos por ajuste (ou já fornecidos). Em provas, se derem dois pontos experimentais você faria o ajuste por logaritmos. Aqui vamos aceitar a expressão dada e usá-la para calcular tensões em pontos do intervalo pedido.
Passo 6
Cálculo de valores práticos para plotagem (muito útil na prova: calcular 4 pontos bem espaçados em escala decimal):
Usamos . Calculemos
para
. Vou mostrar as contas passo a passo usando potências de 10:
Usamos
- Para
: Calcule . Então - Para
: - Para
: - Para
:
Esses cálculos foram mostrados para que você consiga reproduzir na prova sem calculadora: calcule a parte exponencial
e use aproximações de potências de 10 (ou uma tabela de 10^{x}) para obter os fatores.
Passo 7
Como traçar o gráfico
(passo a passo prático e dicas para a prova):
- Opção 1 — Gráfico linear (pouco usado): plote
na escala linear (difícil porque varia de a ). - Opção recomendada — Escala log–log (padrão para Basquin):
- Eixo
: — marcar valores igualmente espaçados (cada uma +1 na escala log). - Eixo
: — compute dos pontos ou use os valores calculados acima e marque-os. - No gráfico log–log a curva
aparece como uma reta com inclinação . Para desenhar: trace a reta que passa por qualquer dois pontos calculados, por exemplo por e por . - Se preferir numerar no eixo vertical em MPa, marque os pontos
nas posições correspondentes ao log das tensões.
- Eixo
- Anotações para o gráfico: coloque unidades (
no eixo , ciclos no eixo ), e destaque a reta e sua inclinação .
Passo 8
Interpretações finais e dicas de prova:
- Se na prova aparecerem outros pares
você resolve e assim: tome logaritmos e resolva o sistema linear. Eu mostrei isso no Passo 2. - Se o enunciado der
e sem outros pontos, normalmente precisa-se de hipóteses adicionais (por exemplo assumir passa por e ). Aqui a expressão foi dada, então a tarefa é saber usar e representar. - Fique animado: sabendo isso você resolve a maioria das questões de Basquin com alguns cálculos de log e produto — o importante é dominar a transformação log e saber desenhar a reta em escala log–log.
Resposta
Pontos para plotar (intervalo