Para o intervalo 10^{3}<\mathrm{N}<10^{6} ciclos, desenvolva a expressão para resistência a fadiga em função do número de ciclos para espécimes polidos de aço normalizado 4130 com tensão máxima a tração igual a 875 Mpa e o limite de fadiga =350 \mathrm{Mpa}. Trace o gráfico de \mathrm{SxN} . \mathrm{S}(\mathrm{N})=1476,55 \mathrm{~N}^{-0,117}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Desenvolver a expressão da resistência à fadiga (ou tensão característica de fadiga) em função do número de ciclos N para o intervalo 10^{3}<N<10^{6} para espécimes polidos do aço normalizado 4130, sabendo que a tensão máxima à tração é 875\\ \mathrm{MPa} e que o limite de fadiga (endurance limit) é 350\\ \mathrm{MPa}.
  2. Traçar (descrever como traçar / fornecer pontos para) o gráfico S\times N usando a expressão dada: \displaystyle S(N)=1476,55\,N^{-0,117}.
Informações dadas e úteis:
  • Intervalo de interesse: 10^{3}<N<10^{6}.
  • Tensão máxima à tração (ultimate tensile strength): \displaystyle S_\mathrm{ut}=875\\ \mathrm{MPa} (dado).
  • Limite de fadiga: \displaystyle S_\mathrm{e}=350\\ \mathrm{MPa} (dado).
  • Expressão final fornecida para traçar: \displaystyle S(N)=1476,55\,N^{-0,117} (o enunciado pede que se trace o gráfico usando essa expressão).

Passo 2

Conceito e equação-base (a “aula curta”):
  • A relação mais usada para ligar tensão e número de ciclos na região de vida de fadiga é a lei de Basquin, que em forma simples diz que a tensão característica de fadiga S varia como uma potência do número de ciclos N:
S(N)=A\,N^{b},
onde:
  • \displaystyle S(N) é a tensão característica (em \mathrm{MPa}) que provoca fadiga em N ciclos;
  • \displaystyle A é uma constante (com unidades de \mathrm{MPa});
  • \displaystyle b é o expoente (adimensional), normalmente negativo (porque a tensão cai quando N cresce).
  • Para ajustar A e b costuma-se usar dois pontos conhecidos (N_1,S_1) e (N_2,S_2), aplicar logaritmo e resolver o sistema:
\log_{10}S=\log_{10}A + b\log_{10}N.
Isso transforma em uma reta no plano (\log_{10}N,\log_{10}S) com inclinação b e intercepto \log_{10}A. Esse procedimento é o que normalmente se faz para obter A e b.

Passo 3

Interpretação da expressão fornecida:
  • O enunciado já fornece a forma ajustada:
\boxed{S(N)=1476,55\,N^{-0,117}}
Vamos tratar essa expressão como a lei de Basquin com A=1476,55 e b=-0,117. Vou explicar o que isso significa e como usá-la em prova: é exatamente a forma S=A N^{b} com A e b determinados previamente (por ajuste experimental ou por usar dois pares (N,S)).

Passo 4

Forma logarítmica (útil para traçar o gráfico em escala log–log e para interpretar):
  • Aplicando \log_{10} em ambos os lados da expressão temos a forma linear:
\log_{10}S(N)=\log_{10}1476,55 + (-0,117)\,\log_{10}N.
  • Aqui:
    • o coeficiente angular (inclinação) da reta no gráfico \log_{10}N vs \log_{10}S é -0,117;
    • o intercepto vertical (quando \log_{10}N=0, isto é N=1) é \log_{10}1476,55\approx 3,1699.

Passo 5

Significado físico e consistência aproximada:
  • A expressão indica que à medida que aumentamos o número de ciclos N a tensão necessária para causar falha diminui seguindo uma lei de potência.
  • Note que a constante A=1476,55 e o expoente b=-0,117 foram obtidos por ajuste (ou já fornecidos). Em provas, se derem dois pontos experimentais você faria o ajuste por logaritmos. Aqui vamos aceitar a expressão dada e usá-la para calcular tensões em pontos do intervalo pedido.

Passo 6

Cálculo de valores práticos para plotagem (muito útil na prova: calcular 4 pontos bem espaçados em escala decimal):
Usamos \displaystyle S(N)=1476,55\,N^{-0,117}. Calculemos S para N=10^{3},10^{4},10^{5},10^{6}. Vou mostrar as contas passo a passo usando potências de 10:
  • Para N=10^{3}: S(10^{3})=1476,55\,(10^{3})^{-0,117}=1476,55\cdot10^{-0,117\cdot3}=1476,55\cdot10^{-0,351}.Calcule 10^{-0,351}\approx0,4467. Então S(10^{3})\approx1476,55\cdot0,4467\approx659,2\\ \mathrm{MPa}.
  • Para N=10^{4}: S(10^{4})=1476,55\cdot10^{-0,117\cdot4}=1476,55\cdot10^{-0,468}\approx1476,55\cdot0,3400\approx501,9\\ \mathrm{MPa}.
  • Para N=10^{5}: S(10^{5})=1476,55\cdot10^{-0,117\cdot5}=1476,55\cdot10^{-0,585}\approx1476,55\cdot0,2591\approx382,2\\ \mathrm{MPa}.
  • Para N=10^{6}: S(10^{6})=1476,55\cdot10^{-0,117\cdot6}=1476,55\cdot10^{-0,702}\approx1476,55\cdot0,1982\approx292,3\\ \mathrm{MPa}.
Esses cálculos foram mostrados para que você consiga reproduzir na prova sem calculadora: calcule a parte exponencial (10^{k})^{\alpha}=10^{k\alpha} e use aproximações de potências de 10 (ou uma tabela de 10^{x}) para obter os fatores.

Passo 7

Como traçar o gráfico S\times N (passo a passo prático e dicas para a prova):
  • Opção 1 — Gráfico linear (pouco usado): plote N na escala linear (difícil porque N varia de 10^{3} a 10^{6}).
  • Opção recomendada — Escala log–log (padrão para Basquin):
    1. Eixo x: \log_{10}N — marcar valores 10^{3},10^{4},10^{5},10^{6} igualmente espaçados (cada uma +1 na escala log).
    2. Eixo y: \log_{10}S — compute \log_{10}S dos pontos ou use os valores S calculados acima e marque-os.
    3. No gráfico log–log a curva \,S(N)=1476,55\,N^{-0,117}\, aparece como uma reta com inclinação -0,117. Para desenhar: trace a reta que passa por qualquer dois pontos calculados, por exemplo por (\log_{10}10^{3}=3,\\ \log_{10}659,2\approx2,819) e por (6,\\ \log_{10}292,3\approx2,466).
    4. Se preferir numerar no eixo vertical em MPa, marque os pontos 659,2;\\\ 501,9;\\\ 382,2;\\\ 292,3 nas posições correspondentes ao log das tensões.
  • Anotações para o gráfico: coloque unidades ( \mathrm{MPa} no eixo S, ciclos no eixo N), e destaque a reta e sua inclinação -0,117.

Passo 8

Interpretações finais e dicas de prova:
  • Se na prova aparecerem outros pares (N,S) você resolve A e b assim: tome logaritmos e resolva o sistema linear. Eu mostrei isso no Passo 2.
  • Se o enunciado der S_\mathrm{ut} e S_\mathrm{e} sem outros pontos, normalmente precisa-se de hipóteses adicionais (por exemplo assumir S(N) passa por (N_1,S_1) e (N_2,S_2)). Aqui a expressão foi dada, então a tarefa é saber usar e representar.
  • Fique animado: sabendo isso você resolve a maioria das questões de Basquin com alguns cálculos de log e produto — o importante é dominar a transformação log e saber desenhar a reta em escala log–log.

Resposta

\displaystyle S(N)=1476,55\,N^{-0,117}\\ \\ (\text{com }N\text{ em ciclos e }S\text{ em MPa})
Pontos para plotar (intervalo 10^{3} a 10^{6}): \displaystyle S(10^{3})\approx659,2\\ \mathrm{MPa},\\ S(10^{4})\approx501,9\\ \mathrm{MPa},\\ S(10^{5})\approx382,2\\ \mathrm{MPa},\\ S(10^{6})\approx292,3\\ \mathrm{MPa}.

Exercícios relacionados