Em um ressalto usinado de eixo, o diâmetro menor d é de 1,1 \mathrm{in}, o diâmetro maior D é de 1,65 in e o raio do filete é de 0,11 \mathrm{in}. O momento flexor é de 1260 Ibf in, e o momento permanente de torção é de 1100 Ibf in. O eixo de aço termo tratado apresenta uma resistência final de \mathrm{Sm}=105 \mathrm{kpsi} e uma resistência ao escoamento de \mathrm{Sv}=82 \mathrm{kpsi}. A meta de confiabilidade é de 0,99 . (a) Determine o fator de segurança à fadiga do projeto utilizando o critério ASM-elíptico- FS-1,93) (b) Determine o fator de segurança à fadiga do projeto utilizando o critério DE-Gerber (R- FS-1,74). Considere \mathrm{Kf}=1,54 \mathrm{e} \mathrm{Kfs}=1,33.
Roteiro:
A. Calcule o Limite a Fadiga ou Resistência a Fadiga corrigidos (Ccarr, Ctemp, Ctam, Csup, Cconf).
B. Calcule as tensões médias e alternadas equivalentes.
C. Encontre o fator de segurança utilizando os critérios de fadiga especificados no enunciado.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado nos deu e o que ele pede, com todas as informações explicitamente listadas (sem resolver nada ainda).
  • Diâmetros do ressalto: diâmetro menor d=1,10\\ \mathrm{in} e diâmetro maior D=1,65\\ \mathrm{in}.
  • Raio do filete: r=0,11\\ \mathrm{in} (informação útil para determinar concentração geométrica, mas o enunciado já forneceu os fatores de concentração efetivos).
  • Momento flexor (bending): M=1260\\ \mathrm{lbf\cdot in}.
  • Momento de torção permanente (torque médio): T_m=1100\\ \mathrm{lbf\cdot in}.
  • Material: aço temperado com resistência à tração final (ultimate) \mathrm{S_u}=\mathrm{Sm}=105\\ \mathrm{kpsi} e limite de escoamento \mathrm{S_y}=\mathrm{Sv}=82\\ \mathrm{kpsi}.
  • Meta de confiabilidade: 0{,}99.
  • Fatores de concentração de tensão já efetivos: K_f=1{,}54 (para flexão alternada) e K_{fs}=1{,}33 (para torção/parte média).
  • Pedidos:
    (a) Determinar o fator de segurança à fadiga usando o critério ASM elíptico.
    (b) Determinar o fator de segurança à fadiga usando o critério de Gerber.
  • Roteiro exigido:
    A. Calcular o limite/resistência à fadiga corrigidos ( C_{\text{carr}},C_{\text{temp}},C_{\text{tam}},C_{\text{sup}},C_{\text{conf}}).
    B. Calcular tensões médias e alternadas equivalentes (combinação flexão + torção).
    C. Aplicar os critérios pedidose calcular o fator de segurança.
Observação (decisão de modelagem que faço sem perguntar): vou assumir que o momento flexor é alternante (bending alterna, logo tem componente alternada), enquanto o torque é permanente (apenas componente média), que é a leitura natural de “momento permanente de torção”. Essa hipótese será usada para definir as tensões alternadas e médias.

Passo 2

Breve aula: como se calcula o limite à fadiga corrigido S_e.
  • Começamos com o limite de resistência à fadiga de referência (peça reversível, sem modificações) para aço: \displaystyle S_e' = 0{,}5\,S_u (válido para muitos aços com S_u até cerca de 140\\ \mathrm{kpsi}). Aqui \mathrm{S_u}=\mathrm{Sm}.
  • Depois aplicamos fatores multiplicativos que modelam efeitos reais: acabamento superficial ( C_{\text{carr}}), tamanho/diâmetro ( C_{\text{tam}}), tipo de carregamento ( C_{\text{sup}}), temperatura ( C_{\text{temp}}) e confiabilidade ( C_{\text{conf}}). Assim:
S_e = S_e' \cdot C_{\text{carr}}\cdot C_{\text{tam}}\cdot C_{\text{sup}}\cdot C_{\text{temp}}\cdot C_{\text{conf}}.
  • Esses C normalmente são menores que 1 e reduzem S_e' para o valor prático.
Aplicando ao problema:
  • Calculo inicial:
S_e' = 0{,}5\;S_u = 0{,}5\cdot 105\\ \mathrm{kpsi} = 52{,}5\\ \mathrm{kpsi}.
Agora, escolher valores razoáveis (tabela padrão tipo Shigley) e justificar:
  • Acabamento superficial ( C_{\text{carr}}): peça “ressalto usinado” → acabamento usinado/torneado. Valor típico aproximado: C_{\text{carr}}=0{,}90. (explicação: acabamento usinado é pior que ground/polished, reduz um pouco S_e.)
  • Fator de tamanho ( C_{\text{tam}}): diâmetro crítico é o menor d=1{,}10\\ \mathrm{in}. Para eixos com 0{,}3<d<2{,}0\\ \mathrm{in} costuma-se usar valores na faixa 0{,}8 0{,}95; tomo um valor representativo C_{\text{tam}}=0{,}85.
  • Fator de carregamento ( C_{\text{sup}}): para carregamento por flexão rotativa, normalmente C_{\text{sup}}=1{,}0 (já que a fórmula base assume condição de rotação reversa).
  • Fator de temperatura ( C_{\text{temp}}): assumimos temperatura ambiente \Rightarrow C_{\text{temp}}=1{,}0.
  • Fator de confiabilidade ( C_{\text{conf}}): para confiabilidade 99\% tabela padrão dá cerca de C_{\text{conf}}=0{,}814.
(Se na sua prova tiver uma tabela, use os valores da tabela. Aqui eu usei números padrão de engenharia que são comumente aceitos.)
Compondo:
S_e = 52{,}5\cdot 0{,}90 \cdot 0{,}85 \cdot 1{,}0 \cdot 1{,}0 \cdot 0{,}814\\ \mathrm{kpsi}.
Agora calcule passo a passo:
  • 0{,}90\cdot 0{,}85 = 0{,}765.
  • 0{,}765\cdot 0{,}814 = 0{,}62331.
  • S_e = 52{,}5 \cdot 0{,}62331 = 32{,}72\\ \mathrm{kpsi}.
Portanto:
\boxed{S_e \approx 32{,}72\\ \mathrm{kpsi}.}

Passo 3

Aula: como obter tensões de flexão e cisalhamento num eixo circular sólido.
  • Para um eixo circular maciço de diâmetro \,d, a tensão normal máxima por flexão na superfície é
\sigma_b = \frac{32\,M}{\pi d^3},
onde M é o momento fletor (em unidades coerentes). Aqui devemos multiplicar por K_f para levar em conta a concentração de tensão na entalhe (o enunciado já dá K_f).
  • A tensão de cisalhamento por torção é
\tau = \frac{16\,T}{\pi d^3},
onde T é o torque. Novamente aplicamos K_{fs} para a concentração efetiva em cisalhamento.
No nosso caso usamos o diâmetro menor d=1{,}10\\ \mathrm{in} (local crítico). Vamos calcular as componentes alternada e média seguindo a hipótese do Passo 1:
  • Bending: é alternante; então \sigma_{a,b} (component alternada de flexão) é obtida com M=1260.
  • Bending mean \sigma_{m,b}=0 (assumindo reversão).
  • Torção: é permanente, então \tau_{m} \ne 0 (com T_m=1100) e \tau_a=0.
Cálculos numéricos (sempre manter unidades kpsi/ksi; faremos psi então converteremos para kpsi):
  • Primeiro calcule \pi d^3:
d^3 = (1{,}10)^3 = 1{,}331\\ \mathrm{in}^3,\qquad \pi d^3 = \pi\cdot 1{,}331 = 4{,}1818\\ \mathrm{in}^3.
  • Tensão alternada de flexão (na superfície) com K_f:
\sigma_{a} = \frac{32\,K_f\,M}{\pi d^3} = \frac{32\cdot 1{,}54\cdot 1260}{4{,}1818}\\ \mathrm{psi}.
Calcule:
32\cdot 1{,}54\cdot 1260 = 62\,092{,}8,
\sigma_a = \frac{62\,092{,}8}{4{,}1818} = 14\,848{,}9\\ \mathrm{psi} = 14{,}85\\ \mathrm{kpsi}.
  • Tensão de cisalhamento média (torção) com K_{fs}:
\tau_{m} = \frac{16\,K_{fs}\,T_m}{\pi d^3} = \frac{16\cdot 1{,}33\cdot 1100}{4{,}1818}\\ \mathrm{psi}.
Calcule:
16\cdot 1{,}33\cdot 1100 = 23\,408,
\tau_m = \frac{23\,408}{4{,}1818} = 5\,597{,}2\\ \mathrm{psi} = 5{,}60\\ \mathrm{kpsi}.
Resumo numérico:
\sigma_a = 14{,}85\\ \mathrm{kpsi},\qquad \sigma_m = 0\\ \mathrm{kpsi},\qquad \tau_a = 0\\ \mathrm{kpsi},\qquad \tau_m = 5{,}597\\ \mathrm{psi}=5{,}60\\ \mathrm{kpsi}.

Passo 4

Aula: como combinar flexão (tensão normal) e torção (corte) para obter tensões equivalentes alternada e média aptas para critérios de fadiga.
  • Para fadiga combinada normalmente usamos a regra de von Mises para obter um “esforço equivalente” tanto para a parte alternada quanto para a parte média. As fórmulas que se usam são:
\sigma'_a = \sqrt{\sigma_a^2 + 3\,\tau_a^2}, \qquad \sigma'_m = \sqrt{\sigma_m^2 + 3\,\tau_m^2}.
(Isto vem de converter tensões \sigma e \tau em um equivalente de energia de distorção.)
No nosso caso \tau_a=0 e \sigma_m=0, então:
\sigma'_a = \sigma_a = 14{,}85\\ \mathrm{kpsi},
\sigma'_m = \sqrt{0^2 + 3\cdot (5{,}597)^2} = \sqrt{3\cdot 31{,}3277} = \sqrt{93{,}983} = 9{,}695\\ \mathrm{kpsi}.
Portanto:
\boxed{\sigma'_a \approx 14{,}85\\ \mathrm{kpsi},\qquad \sigma'_m \approx 9{,}70\\ \mathrm{kpsi}.}

Passo 5

Aula: aplicação do critério ASM elíptico (forma elíptica) para fadiga combinada.
  • A forma elíptica (às vezes chamada critério elíptico de Goodman/Soderberg modificado) que vamos usar é:
\left(\frac{\sigma'_a}{S_e}\right)^2 + \left(\frac{\sigma'_m}{S_y}\right)^2 = \frac{1}{n^2},
onde S_e é o limite à fadiga corrigido, S_y o limite de escoamento, e n o fator de segurança procurado. Esta expressão gera uma “elipse” no plano (\sigma'_m,\sigma'_a).
  • Despejando para n:
n = \frac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{\sigma'_a}{S_e}\right)^2 + \left(\dfrac{\sigma'_m}{S_y}\right)^2}}.
Substituindo os valores numéricos:
  • \sigma'_a = 14{,}85\\ \mathrm{kpsi},
  • \sigma'_m = 9{,}695\\ \mathrm{kpsi},
  • S_e = 32{,}72\\ \mathrm{kpsi},
  • S_y = 82\\ \mathrm{kpsi}.
Calcule as frações:
\frac{\sigma'_a}{S_e} = \frac{14{,}85}{32{,}72} = 0{,}4539,\qquad \left(\frac{\sigma'_a}{S_e}\right)^2 = 0{,}2060.
\frac{\sigma'_m}{S_y} = \frac{9{,}695}{82} = 0{,}1182,\qquad \left(\frac{\sigma'_m}{S_y}\right)^2 = 0{,}0140.
Somando:
\left(\frac{\sigma'_a}{S_e}\right)^2 + \left(\frac{\sigma'_m}{S_y}\right)^2 = 0{,}2060 + 0{,}0140 = 0{,}2200.
Logo
n = \frac{1}{\sqrt{0{,}2200}} = \frac{1}{0{,}4690} = 2{,}13\\ (\text{aprox.}).
Conclusão do critério elíptico:
\boxed{n_{\text{ASM-elíptico}} \approx 2{,}13.}í

Passo 6

Aula: aplicação do critério de Gerber para fadiga (parabólico) — método e resolução.
  • O critério de Gerber é expresso classicamente (na forma que relaciona \sigma_a e \sigma_m) como:
\sigma'_a = S_e\left(1 - \left(\frac{\sigma'_m}{S_u}\right)^2\right)
para o caso sem fator de segurança. Para introduzir o fator de segurança n (escalar que multiplica as tensões reais até o limite), colocamos n\sigma'_a e n\sigma'_m nas tensões e obtemos:
n\,\sigma'_a = S_e\left(1 - \left(\frac{n\,\sigma'_m}{S_u}\right)^2\right).
Reorganizando isso como uma equação quadrática em n:
\left(\frac{\sigma'_m}{S_u}\right)^2 n^2 + \left(\frac{\sigma'_a}{S_e}\right)n - 1 = 0.
  • Resolvemos essa quadrática e tomamos a raiz positiva.
Defina coeficientes:
A = \left(\frac{\sigma'_m}{S_u}\right)^2,\qquad B = \frac{\sigma'_a}{S_e}.
Numéricos:
A = \left(\frac{9{,}695}{105}\right)^2 = (0{,}09233)^2 = 0{,}008523,
B = \frac{14{,}85}{32{,}72} = 0{,}4539.
Equação:
0{,}008523\,n^2 + 0{,}4539\,n - 1 = 0.
Solução pela fórmula quadrática (raiz positiva):
n = \frac{-B + \sqrt{B^2 + 4A}}{2A}.
Calculando:
B^2 = 0{,}2060,\qquad 4A = 0{,}03409,\qquad B^2+4A = 0{,}24009,
\sqrt{B^2+4A} = 0{,}48998,
n = \frac{-0{,}4539 + 0{,}48998}{2\cdot 0{,}008523} = \frac{0{,}03608}{0{,}017046} = 2{,}12\\ (\text{aprox.}).
Conclusão do critério de Gerber:
\boxed{n_{\text{Gerber}} \approx 2{,}12.}

Resposta

(a) n_{\text{ASM-elíptico}} \approx 2{,}13í
(b) n_{\text{Gerber}} \approx 2{,}12

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