Em um ressalto usinado de eixo, o diâmetro menor d é de
, o diâmetro maior D é de 1,65 in e o raio do filete é de
. O momento flexor é de 1260 Ibf in, e o momento permanente de torção é de 1100 Ibf in. O eixo de aço termo tratado apresenta uma resistência final de
e uma resistência ao escoamento de
. A meta de confiabilidade é de 0,99 . (a) Determine o fator de segurança à fadiga do projeto utilizando o critério ASM-elíptico- FS-1,93) (b) Determine o fator de segurança à fadiga do projeto utilizando o critério DE-Gerber (R- FS-1,74). Considere
.
Roteiro:
A. Calcule o Limite a Fadiga ou Resistência a Fadiga corrigidos (Ccarr, Ctemp, Ctam, Csup, Cconf).
B. Calcule as tensões médias e alternadas equivalentes.
C. Encontre o fator de segurança utilizando os critérios de fadiga especificados no enunciado.
A. Calcule o Limite a Fadiga ou Resistência a Fadiga corrigidos (Ccarr, Ctemp, Ctam, Csup, Cconf).
B. Calcule as tensões médias e alternadas equivalentes.
C. Encontre o fator de segurança utilizando os critérios de fadiga especificados no enunciado.
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado nos deu e o que ele pede, com todas as informações explicitamente listadas (sem resolver nada ainda).
- Diâmetros do ressalto: diâmetro menor
e diâmetro maior . - Raio do filete:
(informação útil para determinar concentração geométrica, mas o enunciado já forneceu os fatores de concentração efetivos). - Momento flexor (bending):
. - Momento de torção permanente (torque médio):
. - Material: aço temperado com resistência à tração final (ultimate)
e limite de escoamento . - Meta de confiabilidade:
. - Fatores de concentração de tensão já efetivos:
(para flexão alternada) e (para torção/parte média). - Pedidos:
(a) Determinar o fator de segurança à fadiga usando o critério ASM elíptico.
(b) Determinar o fator de segurança à fadiga usando o critério de Gerber. - Roteiro exigido:
A. Calcular o limite/resistência à fadiga corrigidos ().
B. Calcular tensões médias e alternadas equivalentes (combinação flexão + torção).
C. Aplicar os critérios pedidose calcular o fator de segurança.
Observação (decisão de modelagem que faço sem perguntar): vou assumir que o momento flexor é alternante (bending alterna, logo tem componente alternada), enquanto o torque é permanente (apenas componente média), que é a leitura natural de “momento permanente de torção”. Essa hipótese será usada para definir as tensões alternadas e médias.
Passo 2
Breve aula: como se calcula o limite à fadiga corrigido
.
- Começamos com o limite de resistência à fadiga de referência (peça reversível, sem modificações) para aço:
(válido para muitos aços com até cerca de ). Aqui . - Depois aplicamos fatores multiplicativos que modelam efeitos reais: acabamento superficial (
), tamanho/diâmetro ( ), tipo de carregamento ( ), temperatura ( ) e confiabilidade ( ). Assim:
- Esses
normalmente são menores que e reduzem para o valor prático.
Aplicando ao problema:
- Calculo inicial:
Agora, escolher valores razoáveis (tabela padrão tipo Shigley) e justificar:
- Acabamento superficial (
): peça “ressalto usinado” → acabamento usinado/torneado. Valor típico aproximado: . (explicação: acabamento usinado é pior que ground/polished, reduz um pouco .) - Fator de tamanho (
): diâmetro crítico é o menor . Para eixos com costuma-se usar valores na faixa – ; tomo um valor representativo . - Fator de carregamento (
): para carregamento por flexão rotativa, normalmente (já que a fórmula base assume condição de rotação reversa). - Fator de temperatura (
): assumimos temperatura ambiente . - Fator de confiabilidade (
): para confiabilidade tabela padrão dá cerca de .
(Se na sua prova tiver uma tabela, use os valores da tabela. Aqui eu usei números padrão de engenharia que são comumente aceitos.)
Compondo:
Agora calcule passo a passo:
-
. -
. -
.
Portanto:
Passo 3
Aula: como obter tensões de flexão e cisalhamento num eixo circular sólido.
- Para um eixo circular maciço de diâmetro
, a tensão normal máxima por flexão na superfície é
onde
é o momento fletor (em unidades coerentes). Aqui devemos multiplicar por
para levar em conta a concentração de tensão na entalhe (o enunciado já dá
).
- A tensão de cisalhamento por torção é
onde
é o torque. Novamente aplicamos
para a concentração efetiva em cisalhamento.
No nosso caso usamos o diâmetro menor
(local crítico). Vamos calcular as componentes alternada e média seguindo a hipótese do Passo 1:
- Bending: é alternante; então
(component alternada de flexão) é obtida com . - Bending mean
(assumindo reversão). - Torção: é permanente, então
(com ) e .
Cálculos numéricos (sempre manter unidades kpsi/ksi; faremos psi então converteremos para kpsi):
- Primeiro calcule
:
- Tensão alternada de flexão (na superfície) com
:
Calcule:
- Tensão de cisalhamento média (torção) com
:
Calcule:
Resumo numérico:
Passo 4
Aula: como combinar flexão (tensão normal) e torção (corte) para obter tensões equivalentes alternada e média aptas para critérios de fadiga.
- Para fadiga combinada normalmente usamos a regra de von Mises para obter um “esforço equivalente” tanto para a parte alternada quanto para a parte média. As fórmulas que se usam são:
(Isto vem de converter tensões
e
em um equivalente de energia de distorção.)
No nosso caso
e
, então:
Portanto:
Passo 5
Aula: aplicação do critério ASM elíptico (forma elíptica) para fadiga combinada.
- A forma elíptica (às vezes chamada critério elíptico de Goodman/Soderberg modificado) que vamos usar é:
onde
é o limite à fadiga corrigido,
o limite de escoamento, e
o fator de segurança procurado. Esta expressão gera uma “elipse” no plano
.
- Despejando para
:
Substituindo os valores numéricos:
-
, -
, -
, -
.
Calcule as frações:
Somando:
Logo
Conclusão do critério elíptico:
Passo 6
Aula: aplicação do critério de Gerber para fadiga (parabólico) — método e resolução.
- O critério de Gerber é expresso classicamente (na forma que relaciona
e ) como:
para o caso sem fator de segurança. Para introduzir o fator de segurança
(escalar que multiplica as tensões reais até o limite), colocamos
e
nas tensões e obtemos:
Reorganizando isso como uma equação quadrática em
:
- Resolvemos essa quadrática e tomamos a raiz positiva.
Defina coeficientes:
Numéricos:
Equação:
Solução pela fórmula quadrática (raiz positiva):
Calculando:
Conclusão do critério de Gerber:
Resposta
(a)
(b)
(b)