\int\left(\frac{1}{x}+e^{x}\right) d x, x>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{1}{x}+e^{x}\Bigr)\,dx,
sabendo que x>0. O conteúdo envolvido é a integração de soma de funções, usando a propriedade da linearidade da integral, além dos resultados padrão
\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx e \displaystyle \int e^{x}\,dx.

Passo 2

Pela linearidade da integral, podemos separar a soma em duas integrais:
\int\Bigl(\frac{1}{x}+e^{x}\Bigr)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx + \int e^{x}\,dx.

Passo 3

Agora, lembrando os resultados conhecidos:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr| \quad\text{e}\quad \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Como foi dado x>0, temos \ln|x| = \ln(x).

Passo 4

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\Bigl(\frac{1}{x}+e^{x}\Bigr)\,dx = \ln(x) + e^{x} + C.

Resposta

\ln(x) + e^{x} + C

Exercícios relacionados