\int\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado nos pede a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\Bigr)\,dx.
Para resolver, vamos usar as regras
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C
e
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n\neq -1).

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas:
\int\Bigl(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\Bigr)\,dx = \int \frac{2}{x}\,dx \;+\;\int \frac{3}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Calculamos a primeira parcela:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\int \frac{1}{x}\,dx = 2\ln|x|.

Passo 4

Calculamos a segunda parcela usando x^{-2}:
\int \frac{3}{x^{2}}\,dx = 3\int x^{-2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{3}{x}.

Passo 5

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração:
\int\Bigl(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\Bigr)\,dx = 2\ln|x| \;-\;\frac{3}{x} \;+\; C.

Resposta

2\ln|x| - \frac{3}{x} + C

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