1. \int\left(x^{2}+2\right) /\left(x^{3}-x^{2}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+2}{x^{3}-x^{2}}\,dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O integrando é a razão de dois polinômios: numerador x^{2}+2 (grau 2) e denominador x^{3}-x^{2} (grau 3).
  • O denominador fatoriza como
x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1).
  • Como o grau do numerador é menor que o do denominador, a fração racional é própria (ou seja, não precisamos primeiro fazer divisão polinomial).

Passo 2

Escolha do método e forma da decomposição: para integrar uma fração racional propriamente factorizada em fatores lineares (aqui x^{2} e x-1), usamos a decomposição em frações parciais — isto é, escrevemos a função como soma de termos mais simples cuja integral é conhecida.
Quando há um fator linear repetido x^{2} devemos incluir termos da forma \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}. Para o fator simples x-1 usamos \dfrac{C}{x-1}. Assim procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{x^{2}+2}{x^{2}(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-1}.

Passo 3

Encontrar as constantes A,B,C. Igualando as duas expressões obtemos a identidade (multiplicando ambos os lados por x^{2}(x-1)):
x^{2}+2 = A\cdot x(x-1) + B\cdot(x-1) + C\cdot x^{2}.
Uma maneira prática é usar valores convenientes de x:
  • Tomando x=0:
0^{2}+2 = 2 = A\cdot0\cdot(-1) + B\cdot(-1) + C\cdot0 \quad\Rightarrow\quad -B=2 \Rightarrow B=-2.
  • Tomando x=1:
1^{2}+2 = 3 = A\cdot1\cdot0 + B\cdot0 + C\cdot1 \quad\Rightarrow\quad C=3.
Agora usamos a igualdade dos coeficientes em x^{2} (ou substituímos um outro x qualquer). Expandindo o lado direito:
A x(x-1)+B(x-1)+C x^{2}=(A+C)x^{2}+(-A+B)x+(-B).
Comparando com x^{2}+0\cdot x+2 temos o sistema
A+C=1,\quad -A+B=0,\quad -B=2.
Já tínhamos B=-2 e C=3. Da equação -A+B=0 vem B=A, logo A=B=-2. Verificação rápida: A+C=-2+3=1, certo.
Portanto
A=-2,\quad B=-2,\quad C=3.

Passo 4

Reescrever o integrando usando as frações parciais encontradas:
\frac{x^{2}+2}{x^{2}(x-1)}=\frac{-2}{x}+\frac{-2}{x^{2}}+\frac{3}{x-1}.
Logo a integral se separa em termos simples:
\int \frac{x^{2}+2}{x^{3}-x^{2}}\,dx=\int\!\left(-\frac{2}{x}-\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x-1}\right)dx.

Passo 5

Integrar termo a termo, lembrando as fórmulas básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
  • \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Em particular \displaystyle \int x^{-2}\,dx=\int \frac{1}{x^{2}}\,dx=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-1}\,dx=\ln|x-1|+C (regra da substituição direta).
Aplicando:
\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln|x|,
\int -\frac{2}{x^{2}}\,dx = -2\int x^{-2}\,dx = -2\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{2}{x},
\int \frac{3}{x-1}\,dx = 3\ln|x-1|.
Somando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Resposta

-2\ln|x|+\dfrac{2}{x}+3\ln|x-1|+C

Exercícios relacionados