Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular a integral indefinida
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O integrando é a razão de dois polinômios: numerador
(grau ) e denominador (grau ). - O denominador fatoriza como
- Como o grau do numerador é menor que o do denominador, a fração racional é própria (ou seja, não precisamos primeiro fazer divisão polinomial).
Passo 2
Escolha do método e forma da decomposição: para integrar uma fração racional propriamente factorizada em fatores lineares (aqui
e
), usamos a decomposição em frações parciais — isto é, escrevemos a função como soma de termos mais simples cuja integral é conhecida.
Quando há um fator linear repetido
devemos incluir termos da forma
. Para o fator simples
usamos
. Assim procuramos constantes
tais que
Passo 3
Encontrar as constantes
. Igualando as duas expressões obtemos a identidade (multiplicando ambos os lados por
):
Uma maneira prática é usar valores convenientes de
:
- Tomando
:
- Tomando
:
Agora usamos a igualdade dos coeficientes em
(ou substituímos um outro
qualquer). Expandindo o lado direito:
Comparando com
temos o sistema
Já tínhamos
e
. Da equação
vem
, logo
. Verificação rápida:
, certo.
Portanto
Passo 4
Reescrever o integrando usando as frações parciais encontradas:
Logo a integral se separa em termos simples:
Passo 5
Integrar termo a termo, lembrando as fórmulas básicas:
-
. -
para . Em particular . -
(regra da substituição direta).
Aplicando:
Somando tudo e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva.