1. \int d x /\left(x^{4}+2 x^{2}+1\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado: a integral indefinida \displaystyle \int \frac{dx}{x^{4}+2x^{2}+1}.
  • Pergunta: calcular essa integral, ou seja, encontrar uma primitiva da função \displaystyle \frac{1}{x^{4}+2x^{2}+1}.
  • Informação útil que podemos extrair do enunciado: o denominador é um polinômio que pode ser observado como um quadrado perfeito: x^{4}+2x^{2}+1. (Essa observação vem diretamente do enunciado.)

Passo 2

Decidindo o método:
  • Observação: como o denominador é x^{4}+2x^{2}+1, podemos reescrever como (x^{2}+1)^{2}. Então a integral é
\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • Método escolhido: substituição trigonométrica x=\tan\theta. Por que? Porque 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta simplifica x^{2}+1 de forma direta e transforma a integral numa integral de funções trigonométricas simples. Este é um método padrão e eficiente para integrais com x^{2}+1 aparecendo.

Passo 3

Fazendo a substituição x=\tan\theta:
  • Se x=\tan\theta então dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • Também x^{2}+1=\tan^{2}\theta+1=\operatorname{sec}^{2}\theta.
  • Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}} = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{(\operatorname{sec}^{2}\theta)^{2}} = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta}.
  • Simplificando potências de \operatorname{sec}:
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta = \int \cos^{2}\theta\,d\theta,
porque \dfrac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta}=\dfrac{1}{\operatorname{sec}^{2}\theta}=\cos^{2}\theta.

Passo 4

Integrando \displaystyle \int \cos^{2}\theta\,d\theta:
  • Usamos a identidade de redução para o quadrado do cosseno:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
  • Então
\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int d\theta + \frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,d\theta.
  • Calculando as primitivas:
\frac{1}{2}\int d\theta = \frac{\theta}{2}, \qquad \frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2\theta)}{2}=\frac{\sin(2\theta)}{4}.
  • Portanto, na variável \theta,
\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar para a variável x:
  • Lembrando que escolhemos \theta=\arctan x (pois x=\tan\theta).
  • Então \theta=\arctan x e o primeiro termo vira \dfrac{1}{2}\arctan x.
  • Precisamos expressar \sin(2\theta) em função de x. Usamos a identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
  • Com x=\tan\theta, podemos construir um triângulo retângulo (ou usar relações trigonométricas):
    • \sin\theta=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},
    • \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
  • Então
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta =2\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} =\frac{2x}{1+x^{2}}.
  • Substituindo em \dfrac{\sin(2\theta)}{4}:
\frac{\sin(2\theta)}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}=\frac{x}{2(1+x^{2})}.

Passo 6

Juntando tudo e escrevendo a primitiva final:
  • A primitiva em x fica
\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(1+x^{2})} + C.
  • Podemos checar rapidamente por diferenciação: derivando o lado direito obtém-se \dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}}, que é a função integranda original — isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\arctan x+\frac{x}{2(1+x^{2})}+C

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