Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado: a integral indefinida
. - Pergunta: calcular essa integral, ou seja, encontrar uma primitiva da função
. - Informação útil que podemos extrair do enunciado: o denominador é um polinômio que pode ser observado como um quadrado perfeito:
. (Essa observação vem diretamente do enunciado.)
Passo 2
Decidindo o método:
- Observação: como o denominador é
, podemos reescrever como . Então a integral é
- Método escolhido: substituição trigonométrica
. Por que? Porque simplifica de forma direta e transforma a integral numa integral de funções trigonométricas simples. Este é um método padrão e eficiente para integrais com aparecendo.
Passo 3
Fazendo a substituição
:
- Se
então . - Também
. - Substituindo na integral:
- Simplificando potências de
:
porque
.
Passo 4
Integrando
:
- Usamos a identidade de redução para o quadrado do cosseno:
- Então
- Calculando as primitivas:
- Portanto, na variável
,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar para a variável
:
- Lembrando que escolhemos
(pois ). - Então
e o primeiro termo vira . - Precisamos expressar
em função de . Usamos a identidade . - Com
, podemos construir um triângulo retângulo (ou usar relações trigonométricas): -
, -
.
-
- Então
- Substituindo em
:
Passo 6
Juntando tudo e escrevendo a primitiva final:
- A primitiva em
fica
- Podemos checar rapidamente por diferenciação: derivando o lado direito obtém-se
, que é a função integranda original — isso confirma que a primitiva está correta.