Inverta a ordem de integração na integral dupla
integral11^3(integral2-x^x f(x, y) d x) d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração em uma integral dupla. Isso significa que precisamos trocar a ordem de integração das variáveis e na integral dada. Para fazer isso, vamos entender os limites de integração atuais e reescrever a região de integração de forma que integremos primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração da integral original:
integral11^3(integral2-x^x f(x, y) , dx) dy
Aqui, a integração externa é em relação a integral3^11(integral2-x^x f(x, y) , dx) dy , indo de 11 até 3, e para cada , a integração interna é em relação a , indo de até . No entanto, os limites de estão de 11 a 3, o que geralmente é escrito de forma crescente. Vamos reescrever os limites de de 3 a 11 para facilitar a visualização:

Passo 3

Agora, precisamos entender a região de integração no plano integral3^11(integral2 - y^y f(x, y) , dx) dy . Os limites atuais indicam que para cada entre 3 e 11, varia de até . Parece haver um equívoco aqui, j�� que os limites de estão expressos em termos de em ambos os extremos. Vamos verificar novamente os limites de integração.
Parece mais provável que a integral original devesse ser:
Isso faz mais sentido, pois os limites de são expressos em termos de .

Passo 4

Assumindo que a integral correta é:
integral3^11(integral2 - y^y f(x, y) , dx) dy
Vamos desenhar a região de integração para entender melhor.
  1. varia de 3 a 11.
  2. Para cada , varia de a .
Isso define uma região no plano onde, para cada , está entre duas linhas: e .

Passo 5

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de e determinar os novos limites de e .
Observando os limites:
  • pode ser reescrito como .
  • é a linha .
A interseção dessas linhas ocorre quando , ou seja, e .
Então, o limite de varia de onde? Vamos ver os extremos:
  • Quando , varia de até .
  • Quando , varia de até .
No entanto, como as linhas se cruzam em , precisamos dividir a região em duas partes:
  1. Para de a , varia de até .
  2. Para de a , varia de até .

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida:
integral-9^1 ( integral2 - x^11 f(x, y) , dy ) dx + integral1^11 ( integralx^11 f(x, y) , dy ) dx

Resposta

A ordem de integração invertida fica:
integral-9^1 ( integral2 - x^11 f(x, y) , dy ) dx + integral1^11 ( integralx^11 f(x, y) , dy ) dx

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