O volume do sólido do primeiro octante, definido pelo cilindro y = x^2 e pelos planos x=0, y=1, z=0 e z = 2 y vale
a) 7/5 * u * v.
b) 22 / 3 u.v.
c) 7 / 3 u.v.
d) 13 / 6 u . v.
e) 4 / 5 u.v.
f) 11 / 5 u . V

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , , e são todos positivos). Esse sólido é limitado pelo cilindro e pelos planos , , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas em cálculo, que nos permite calcular volumes de regiões em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os limites onde o sólido está definido:
  • Plano : é o plano que delimita o início do eixo .
  • Cilindro : descreve uma curva parabólica no plano .
  • Plano : delimita o valor máximo de no sólido.
  • Plano : é o plano base, onde começa.
  • Plano : define a altura máxima do sólido em relação a .

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos configurar uma integral tripla. A ordem das integrais será , , e . Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a , depois a , e por último a .

Passo 4

Vamos resolver a integral mais interna com respeito a :
Agora, substituímos isso na integral:

Passo 5

Integrando em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Finalmente, integrando em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.
Alternativa e) .

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