O volume do sólido do primeiro octante, definido pelo cilindro
e pelos planos
e
vale
a)
.
b)
u.v.
c)
u.v.
d)
.
e)
u.v.
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde
,
, e
são todos positivos). Esse sólido é limitado pelo cilindro
e pelos planos
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas em cálculo, que nos permite calcular volumes de regiões em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os limites onde o sólido está definido:
- Plano
: é o plano que delimita o início do eixo . - Cilindro
: descreve uma curva parabólica no plano . - Plano
: delimita o valor máximo de no sólido. - Plano
: é o plano base, onde começa. - Plano
: define a altura máxima do sólido em relação a .
Passo 3
Para encontrar o volume, vamos configurar uma integral tripla. A ordem das integrais será
,
, e
. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
, depois a
, e por último a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral mais interna com respeito a
:
Agora, substituímos isso na integral:
Passo 5
Integrando em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Finalmente, integrando em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Alternativa e)
.