Investigar as integrais impróprias:
c) integral0^3 d xraiz9-x^2

Passo 1

A gente tem a integral imprópria de 0 até 3 de 1/raiz9 - x^2. O conteúdo é “integrais impróprias” e vamos precisar da primitiva de 1/raiza^2 - x^2, que envolve função arco-seno.

Passo 2

Identificamos que o integrando fica infinito em x = 3. Para tratar isso, escrevemos a integral como limite:
integral0^3 dxraiz9 - x^2 = limb to 3^- integral0^b dxraiz9 - x^2
Sabendo que a primitiva de 1/raiza^2 - x^2 é arcsin(x/a), temos para a = 3:
integral dxraiz9 - x^2 = arcsinl(x3r) + C
Aplicando os limites de 0 a b:
integral0^b dxraiz9 - x^2 = arcsinl(b3r) - arcsin(0) = arcsinl(b3r)
Tomando o limite quando b to 3^-:
limb to 3^- arcsinl(b3r) = arcsin(1) = pi2
Concluímos que a integral converge e seu valor é pi/2.

Resposta

integral0^3 dxraiz9 - x^2 = pi2

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