Determine uma equação do plano tangente à superficie no ponto especificado.
z=2 raizy / x, (-1,1,-2)

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a superfície definida por z = tfrac2raizyx e queremos o plano tangente em (-1,1,-2). O conteúdo envolvido é derivadas parciais para obter o gradiente e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais: Para uma função f(x,y)=2y{1/2}x{-1}, usamos definição de derivada parcial.
partial zpartial x=partialpartial xl(2y^1/2x^-1r)=-2,raizyx^2
partial zpartial y=partialpartial yl(2y^1/2x^-1r)=2cdot12raizycdot1x=1xraizy

Passo 3

Avaliação das derivadas no ponto (-1,1): Substituindo x=−1 e y=1:
partial zpartial x(-1,1)=-2cdot1(-1)^2=-2
partial zpartial y(-1,1)=1(-1)cdot1=-1

Passo 4

Equação do plano tangente: Usamos
z-z0=partial zpartial x(x-x0)+partial zpartial y(y-y0)
Com (x_{0},y_{0},z_{0})=(-1,1,-2) e os valores das derivadas:
z+2=-2(x+1)-1(y-1)
Simplificando:
z+2=-2x-2-y+1=-2x-y-1
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z=-2x-y-3

Resposta

z=-2x-y-3

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