Investigue a familia de funçōes f(x)=\ln (\operatorname{sen} x+C). Que aspectos os membros dessa familia têm em comum? Como eles diferem? Para quais valores de C a funçăo f é contínua \mathrm{em}(-\infty, \infty) ? Para quais valores de C a função f não tem gráfico? O que acontece se C \longrightarrow \infty ?

Passo 1

O enunciado pede estudar a família de funções
f(x)=\ln\bigl(\sin x + C\bigr)
investigando domínio, continuidade em \mathbb R, existência de gráfico e o que ocorre quando C\to\infty.

Passo 2

Para f(x) estar bem definida em \mathbb R precisamos
\sin x + C>0.
Chamemos
D_C=\{\,x\in\mathbb R\mid \sin x + C>0\}
o domínio de f.

Passo 3

Analisamos os quatro casos para o parâmetro C:
1. C>1
Como \sin x\ge -1 então \sin x + C\ge C-1>0. Logo
D_C=\mathbb R.
2. C=1
Temos \sin x+1\ge0 com zeros em \sin x=-1, i.e.\ em
x=3\pi/2+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z.
Portanto
D_C=\mathbb R\setminus\{\,3\pi/2+2k\pi\}.
3. -1<C<1
Escrevemos \sin x>-C, com -C\in(-1,1). Num mesmo período 2\pi vale
\sin x>-C\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\bigl(\arcsin(-C)+2k\pi,\;\pi-\arcsin(-C)+2k\pi\bigr).
Como \arcsin(-C)=-\arcsin\text{(C)}, fica
D_C=\bigcup_{k\in\mathbb Z}\bigl(-\arcsin\text{(C)}+2k\pi,\;\pi+\arcsin\text{(C)}+2k\pi\bigr).
4. C\le -1
Aqui \sin x\le1 implica \sin x+C\le1+C\le0, logo
D_C=\emptyset
e não há gráfico real de f.

Passo 4

Aspectos comuns (quando D_C\neq\emptyset):
  • f é periódica de período 2\pi.
  • Em cada intervalo de D_C atinge máximo quando \sin x=1, com
    \max f=\ln(C+1).
  • Nas fronteiras de D_C onde \sin x+C\to0^+, f(x)\to-\infty, gerando assíntotas verticais.

Passo 5

Diferenças entre membros da família:
  • Domínio: dado por C>1 (toda \mathbb R), C=1 (toda \mathbb R exceto pontos isolados), -1<C<1 (união de faixas abertas) ou vazio se C\le-1.
  • Amplitude da oscilação (quando C>1):
\Delta f =\ln(C+1)-\ln(C-1) =\ln\!\bigl(\tfrac{C+1}{C-1}\bigr),
que depende de C.

Passo 6

Continuidade em \mathbb R
A única forma de f ser contínua em todo (-\infty,\infty) é ter domínio \mathbb R, isto é C>1.
Não há gráfico
Se C\le -1, pois então D_C=\emptyset.

Passo 7

Comportamento quando C\to\infty
\ln\bigl(\sin x + C\bigr) =\ln\!\bigl(C\,(1+\tfrac{\sin x}{C})\bigr) =\ln C + \ln\bigl(1+\tfrac{\sin x}{C}\bigr) \approx \ln C + \tfrac{\sin x}{C}.
Assim, à medida que C\to\infty, o gráfico sobe sem limite (pois \ln C\to\infty) e a amplitude da oscilação \approx2/C tende a zero, de modo que, subtraindo \ln C, a curva se aproxima de uma linha horizontal.

Resposta

Aspectos comuns:
  • Período 2\pi.
  • Máximos em \sin x=1 com valor \ln(C+1).
  • Assíntotas verticais onde \sin x + C=0.
Diferenças:
  • Estrutura do domínio e amplitude de oscilação variam com C.
Contínua em (-\infty,\infty):
  • Se, e somente se, C>1.
Não tem gráfico real:
  • Para C\le -1.
Quando C\to\infty:
  • \ln(\sin x + C)=\ln C+O(1/C), isto é, a curva desloca-se para cima indefinidamente e oscila cada vez menos.

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