Faça os gráficos de f que revelem todos os aspectos da curva. Use os gráficos de f^{\prime} e f^{\prime \prime} para estimar os intervalos de crescimento e de decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. No Exercício 35, use o cálculo para achar exatamente essas quantidades.
f(x)=x^{2}+6,5 \operatorname{sen} x,-5 \leqslant x \leqslant 5

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da curva de
f(x)=x^{2}+6,5\operatorname{sen} x,\quad -5\le x\le5,
usando f' para achar intervalos de crescimento/decrescimento e extremos, e f'' para concavidade e pontos de inflexão. O conteúdo é análise de funções via derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Calculamos as derivadas. Pela regra da soma e produto:
f'(x)=2x+6,5\cos x,
f''(x)=2-6,5\operatorname{sen} x.
Em teoria, f'>0 indica crescimento, f'<0 decrescimento; zeros de f' são candidatos a extremos. Em seguida, f''>0 é concavidade para cima, f''<0 concavidade para baixo, e zeros de f'' são pontos de inflexão.

Passo 3

Achamos numericamente os zeros de f'(x)=0, ou seja, soluções de
2x+6,5\cos x=0,
no intervalo [-5,5]. Pelo método da bisseção ou Newton, obtemos três raízes aproximadas:
x_{1}\approx -1,197,\quad x_{2}\approx 2,399,\quad x_{3}\approx 3,236.

Passo 4

Para determinar o sinal de f', avaliamos em pontos de cada subintervalo:
– em x<-1,197 (por ex. x=-2), f'<0;
– em -1,197<x<2,399 (por ex. x=0), f'>0;
– em 2,399<x<3,236 (por ex. x=3), f'<0;
– em x>3,236 (por ex. x=4), f'>0.
Logo f decresce em [-5,-1,197], cresce em [-1,197,2,399], decresce em [2,399,3,236] e cresce em [3,236,5].

Passo 5

Classificação dos extremos:
– em x_{1} e x_{3} a derivada muda de negativa para positiva ⇒ pontos de mínimo;
– em x_{2} a derivada muda de positiva para negativa ⇒ ponto de máximo.
Calculando f nessas abscissas:
f(x_{1})\approx(-1,197)^{2}+6,5\operatorname{sen}(-1,197)\approx1,433-6,038\approx-4,605,
f(x_{2})\approx(2,399)^{2}+6,5\operatorname{sen}(2,399)\approx5,755+4,389\approx10,144,
f(x_{3})\approx(3,236)^{2}+6,5\operatorname{sen}(3,236)\approx10,472-0,618\approx9,854.

Passo 6

Agora achamos os pontos de inflexão resolvendo f''(x)=0, i.e.
2-6,5\operatorname{sen} x=0\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{sen} x=\frac{2}{6,5}\approx0,3077.
As soluções em [-5,5] são
x_{4}\approx-3,454,\quad x_{5}\approx0,313,\quad x_{6}\approx2,829.

Passo 7

Para a concavidade, avaliamos f'':
– em [-5,-3,454), \operatorname{sen} x>0,3077 f''<0 (côncavo para baixo);
– em (-3,454,0,313), \operatorname{sen} x<0,3077 f''>0 (côncavo para cima);
– em (0,313,2,829), \operatorname{sen} x>0,3077 f''<0;
– em (2,829,5], \operatorname{sen} x<0,3077 f''>0.

Passo 8

Com essas informações podemos traçar qualitativamente f:
– começa decrescendo até o mínimo em ( -1,197,\,-4,605 ),
– sobe até o máximo em ( 2,399,\,10,144 ),
– desce até o mínimo em ( 3,236,\,9,854 ),
– depois cresce até x=5.
As inflexões em -3,454, 0,313 e 2,829 marcam mudança de concavidade.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-1,197,2,399)\cup(3,236,5)
Intervalos de decrescimento: [-5,-1,197)\cup(2,399,3,236)
Mínimos em \bigl(-1,197,\,-4,605\bigr) e \bigl(3,236,\,9,854\bigr)
Máximo em \bigl(2,399,\,10,144\bigr)
Concavidade para cima: (-3,454,0,313)\cup(2,829,5]
Concavidade para baixo: [-5,-3,454)\cup(0,313,2,829)
Pontos de inflexão em x\approx -3,454,\;0,313,\;2,829.

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