Faça os gráficos de
que revelem todos os aspectos da curva. Use os gráficos de
e
para estimar os intervalos de crescimento e de decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. No Exercício 35, use o cálculo para achar exatamente essas quantidades.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da curva de
usando
para achar intervalos de crescimento/decrescimento e extremos, e
para concavidade e pontos de inflexão. O conteúdo é análise de funções via derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Calculamos as derivadas. Pela regra da soma e produto:
Em teoria,
indica crescimento,
decrescimento; zeros de
são candidatos a extremos. Em seguida,
é concavidade para cima,
concavidade para baixo, e zeros de
são pontos de inflexão.
Passo 3
Achamos numericamente os zeros de
, ou seja, soluções de
no intervalo
. Pelo método da bisseção ou Newton, obtemos três raízes aproximadas:
Passo 4
Para determinar o sinal de
, avaliamos em pontos de cada subintervalo:
– em (por ex.
),
;
– em (por ex.
),
;
– em (por ex.
),
;
– em (por ex.
),
.
Logo decresce em
, cresce em
, decresce em
e cresce em
.
– em
– em
– em
– em
Logo
Passo 5
Classificação dos extremos:
– em e
a derivada muda de negativa para positiva ⇒ pontos de mínimo;
– em a derivada muda de positiva para negativa ⇒ ponto de máximo.
Calculando nessas abscissas:
– em
– em
Calculando
Passo 6
Agora achamos os pontos de inflexão resolvendo
, i.e.
As soluções em
são
Passo 7
Para a concavidade, avaliamos
:
– em ,
⇒
(côncavo para baixo);
– em ,
⇒
(côncavo para cima);
– em ,
⇒
;
– em ,
⇒
.
– em
– em
– em
– em
Passo 8
Com essas informações podemos traçar qualitativamente
:
– começa decrescendo até o mínimo em ,
– sobe até o máximo em ,
– desce até o mínimo em ,
– depois cresce até .
As inflexões em ,
e
marcam mudança de concavidade.
– começa decrescendo até o mínimo em
– sobe até o máximo em
– desce até o mínimo em
– depois cresce até
As inflexões em
Resposta
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Intervalos de decrescimento:
Mínimos em
e
Máximo em
Máximo em
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Concavidade para baixo:
Pontos de inflexão em
.