Investigue a familia de funçōes
. Que aspectos os membros dessa familia têm em comum? Como eles diferem? Para quais valores de
a funçăo
é contínua
? Para quais valores de
a função
não tem gráfico? O que acontece se
?
Passo 1
O enunciado pede estudar a família de funções
investigando domínio, continuidade em
, existência de gráfico e o que ocorre quando
.
Passo 2
Para
estar bem definida em
precisamos
Chamemos
o domínio de
.
Passo 3
Analisamos os quatro casos para o parâmetro
:
1.
Como então
. Logo
Como
2.
Temos com zeros em
, i.e.\ em
Temos
Portanto
3.
Escrevemos , com
. Num mesmo período
vale
Escrevemos
Como
, fica
4.
Aqui implica
, logo
Aqui
e não há gráfico real de
.
Passo 4
Aspectos comuns (quando
):
-
é periódica de período . - Em cada intervalo de
atinge máximo quando , com
. - Nas fronteiras de
onde , , gerando assíntotas verticais.
Passo 5
Diferenças entre membros da família:
- Domínio: dado por
(toda ), (toda exceto pontos isolados), (união de faixas abertas) ou vazio se . - Amplitude da oscilação (quando
):
que depende de
.
Passo 6
Continuidade em
A única forma de ser contínua em todo
é ter domínio
, isto é
A única forma de
Não há gráfico
Se , pois então
.
Se
Passo 7
Comportamento quando
Assim, à medida que
, o gráfico sobe sem limite (pois
) e a amplitude da oscilação
tende a zero, de modo que, subtraindo
, a curva se aproxima de uma linha horizontal.
Resposta
Aspectos comuns:
- Período
. - Máximos em
com valor . - Assíntotas verticais onde
.
Diferenças:
- Estrutura do domínio e amplitude de oscilação variam com
.
Contínua em
:
- Se, e somente se,
.
Não tem gráfico real:
- Para
.
Quando
:
-
, isto é, a curva desloca-se para cima indefinidamente e oscila cada vez menos.