Investigue a famflia de funçöes
. O que acontece com os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexăo quando
varia? Ilustre suas conclusões fazendo o gráfico de vários membros da familia.
Passo 1
O enunciado nos dá a família de funções
com parâmetro real
. O objetivo é encontrar os pontos críticos (máximos e mínimos) e os pontos de inflexão de cada membro da família e ver como esses pontos se deslocam quando
varia. Para isso vamos calcular
e
, resolver
e
, classificar e estudar a dependência em
.
Passo 2
Cálculo da derivada primeira. Como
usamos produto e cadeia:
Passo 3
Determinação dos pontos críticos. Fazendo
e usando
:
Para classificar, basta ver o sinal de
ou usar a segunda derivada. Observamos que em
temos
(máximo local positivo) e em
temos
(mínimo local negativo).
Passo 4
Altura dos extremos. Substituindo em
:
Logo o pico positivo vale
e o vale negativo
.
Passo 5
Cálculo da derivada segunda. Partindo de
fazendo novamente produto:
Passo 6
Determinação dos pontos de inflexão. Fazendo
:
Verifica-se mudança de concavidade em cada um desses três pontos, logo são inflexões.
Passo 7
Dependência em
.
- Pontos críticos em
: quando cresce, diminui, ou seja, máximos e mínimos aproximam-se de . - Alturas
crescem com . Assim, para grande, o pico fica mais alto e estreito; para pequeno, espalha-se e é mais baixo. - Pontos de inflexão em
e : também se aproximam de quando aumenta.
Passo 8
Ilustração gráfica.
Para exemplificar, plote os gráficos de para
,
,
e
. Verá que, à medida que
aumenta, o gráfico fica mais “fino” em torno de
, com pico mais elevado em
e pontos de inflexão
movendo-se para mais perto da origem.
Para exemplificar, plote os gráficos de
Resposta
Os extremos locais ocorrem em
com
(máximo) e
(mínimo).
Os pontos de inflexão são
Os pontos de inflexão são
Ao variar
, esses pontos escalam como
: quanto maior
, mais perto de zero ficam todos os extremos e inflexões, e o pico central fica mais alto e estreito.
Plote para vários valores de (por exemplo
) para visualizar esse comportamento.
Plote para vários valores de