Investigue a famflia de funçöes f(x)=c x e^{-c x^{2}}. O que acontece com os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexăo quando c varia? Ilustre suas conclusões fazendo o gráfico de vários membros da familia.

Passo 1

O enunciado nos dá a família de funções
f(x)=c\,x\,e^{-c\,x^{2}},
com parâmetro real c>0. O objetivo é encontrar os pontos críticos (máximos e mínimos) e os pontos de inflexão de cada membro da família e ver como esses pontos se deslocam quando c varia. Para isso vamos calcular \,f'(x) e \,f''(x), resolver \,f'(x)=0 e \,f''(x)=0, classificar e estudar a dependência em c.

Passo 2

Cálculo da derivada primeira. Como
f(x)=c\,x\,e^{-c\,x^{2}},
usamos produto e cadeia:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(c\,x\bigr)\,e^{-c\,x^{2}} +c\,x\;\frac{d}{dx}\bigl(e^{-c\,x^{2}}\bigr) =c\,e^{-c\,x^{2}}+c\,x\bigl(-2c\,x\,e^{-c\,x^{2}}\bigr) =e^{-c\,x^{2}}\;c\,(1-2c\,x^{2}).

Passo 3

Determinação dos pontos críticos. Fazendo f'(x)=0 e usando e^{-c\,x^{2}}\neq0:
c\,(1-2c\,x^{2})=0 \quad\Longrightarrow\quad 1-2c\,x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{1}{2c} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{2c}}.
Para classificar, basta ver o sinal de f'(x) ou usar a segunda derivada. Observamos que em x=+1/\sqrt{2c} temos f''<0 (máximo local positivo) e em x=-1/\sqrt{2c} temos f''>0 (mínimo local negativo).

Passo 4

Altura dos extremos. Substituindo em f:
f\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{2c}}\Bigr) =c\,\frac{\pm1}{\sqrt{2c}} \,e^{-c\,\frac{1}{2c}} =\pm\sqrt{\frac{c}{2}}\;e^{-\tfrac12}.
Logo o pico positivo vale \displaystyle+\sqrt{\tfrac{c}{2}}\,e^{-1/2} e o vale negativo \displaystyle-\sqrt{\tfrac{c}{2}}\,e^{-1/2}.

Passo 5

Cálculo da derivada segunda. Partindo de
f'(x)=c\,e^{-c\,x^{2}}\,(1-2c\,x^{2}),
fazendo novamente produto:
f''(x) =e^{-c\,x^{2}}\bigl[-2c^{2}x\,(1-2c\,x^{2})\bigr] + c\,e^{-c\,x^{2}}\;(-4c\,x) =e^{-c\,x^{2}}\;2c^{2}x\,\bigl(-3+2c\,x^{2}\bigr).

Passo 6

Determinação dos pontos de inflexão. Fazendo f''(x)=0:
2c^{2}x\,(-3+2c\,x^{2})=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad -3+2c\,x^{2}=0 \;\Longrightarrow\; x^{2}=\frac{3}{2c} \;\Longrightarrow\; x=\pm\sqrt{\frac{3}{2c}}.
Verifica-se mudança de concavidade em cada um desses três pontos, logo são inflexões.

Passo 7

Dependência em c.
  1. Pontos críticos em x=\pm1/\sqrt{2c}: quando c cresce, 1/\sqrt{2c} diminui, ou seja, máximos e mínimos aproximam-se de x=0.
  2. Alturas \pm\sqrt{\tfrac{c}{2}}\,e^{-1/2} crescem com \sqrt{c}. Assim, para c grande, o pico fica mais alto e estreito; para c pequeno, espalha-se e é mais baixo.
  3. Pontos de inflexão em x=0 e x=\pm\sqrt{3/(2c)}: também se aproximam de x=0 quando c aumenta.

Passo 8

Ilustração gráfica.
Para exemplificar, plote os gráficos de f(x)=c\,x\,e^{-c\,x^{2}} para c=0{,}5, 1, 2 e 4. Verá que, à medida que c aumenta, o gráfico fica mais “fino” em torno de x=0, com pico mais elevado em x=1/\sqrt{2c} e pontos de inflexão x=\pm\sqrt{3/(2c)} movendo-se para mais perto da origem.

Resposta

Os extremos locais ocorrem em
x=\pm\frac{1}{\sqrt{2c}},
com f\bigl(1/\sqrt{2c}\bigr)=+\sqrt{\tfrac{c}{2}}\,e^{-1/2} (máximo) e f\bigl(-1/\sqrt{2c}\bigr)=-\sqrt{\tfrac{c}{2}}\,e^{-1/2} (mínimo).
Os pontos de inflexão são
x=0, \quad x=\pm\sqrt{\frac{3}{2c}}.
Ao variar c, esses pontos escalam como 1/\sqrt{c}: quanto maior c, mais perto de zero ficam todos os extremos e inflexões, e o pico central fica mais alto e estreito.
Plote para vários valores de c (por exemplo 0{,}5,1,2,4) para visualizar esse comportamento.

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