Investigue se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} converge absolutamente e encontre sua soma aproximada até o quinto termo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) investigar se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} converge absolutamente; (2) encontrar a soma aproximada da série até o quinto termo.
Informações que o enunciado fornece e que vamos usar: a série é alternada (os sinais são alternadamente + e -) e os módulos dos termos são a_{n}=\frac{1}{n^{2}}, que formam uma sequência positiva que tende a zero quando n\to\infty. Não vamos assumir nada mais além disso.

Passo 2

Definição importante (aula rápida): uma série \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge absolutamente se a série de termos positivos \sum_{n=1}^{\infty} |b_{n}| converge. Se \sum |b_{n}| converge, então \sum b_{n} converge (isto é um fato padrão: convergência absoluta implica convergência). Aqui aplicamos isso ao nosso caso, com b_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}. Então precisamos estudar
\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}.
Essa última é a chamada série p-série com p=2.

Passo 3

Mini-aula sobre p\)-séries e teste do integral: a \(p\)-série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\) converge se, e somente se, \(p>1\). Uma forma direta de ver isso é o teste da integral: comparar \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\) com a integral imprópria \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx\). Calculando a integral, \[\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{p-1}, & \text{se } p>1,\\[6pt] \text{diverge}, & \text{se } p\le 1. \end{cases}
Para p=2\] temos \(\int_{1}^{\infty} x^{-2}\,dx = 1, finito, o que implica que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} converge. Portanto \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} converge, e isso mostra que a série dos valores absolutos da nossa série original converge.]

Passo 4

Conclusão sobre a primeira pergunta (didática): como \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} converge, a série original \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} converge absolutamente. Lembre-se: “converge absolutamente” é uma afirmação mais forte do que “converge” — se é absoluta, então converge sem dúvidas.

Passo 5

Agora vamos calcular a soma parcial até o quinto termo, passo a passo (a ideia prática para a prova): escrevemos os cinco termos e somamos com atenção aos sinais.
S_{5}=\sum_{n=1}^{5} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} = \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}.
Substituindo os números:
S_{5}=1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} - \frac{1}{16} + \frac{1}{25}.
Para somar precisamente encontramos um denominador comum conveniente; os denominadores são 1,4,9,16,25 e o mínimo múltiplo comum é 3600. Transformando cada fração:
1=\frac{3600}{3600},\quad \frac{1}{4}=\frac{900}{3600},\quad \frac{1}{9}=\frac{400}{3600},
\frac{1}{16}=\frac{225}{3600},\quad \frac{1}{25}=\frac{144}{3600}.
Aplicando os sinais:
S_{5}=\frac{3600-900+400-225+144}{3600}=\frac{3019}{3600}.
Como decimal (útil na prova quando pedem aproximação):
\frac{3019}{3600}\approx 0,838611111\\ (\text{arredondando às casas mostradas}).à

Passo 6

Bônus prático (erro da aproximação): dado que a série é alternada com termos de módulo \frac{1}{n^{2}} decrescentes, o Teorema das Séries Alternadas diz que o erro ao truncar depois de n termos tem módulo menor que o próximo termo. Então o erro ao usar S_{5} satisfaz
\left|S - S_{5}\right| \le \frac{1}{6^{2}} = \frac{1}{36} \approx 0,027777\ldots
Isso te dá uma ideia de quão boa é a aproximação S_{5}.

Resposta

Converge absolutamente: Sim.
S_{5}=\dfrac{3019}{3600}\approx 0,838611111

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