Investigue se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} converge absolutamente e encontre sua soma aproximada até o quinto termo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) investigar se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} converge absolutamente; (2) encontrar a soma aproximada da série até o quinto termo.
Informações que o enunciado fornece e que vamos usar: a série é alternada (os sinais são alternadamente + e -) e os módulos dos termos são a_{n}=\frac{1}{n^{2}}, que formam uma sequência positiva que tende a zero quando n\to\infty. Não vamos assumir nada mais além disso.
Passo 2
Definição importante (aula rápida): uma série \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge absolutamente se a série de termos positivos \sum_{n=1}^{\infty} |b_{n}| converge. Se \sum |b_{n}| converge, então \sum b_{n} converge (isto é um fato padrão: convergência absoluta implica convergência). Aqui aplicamos isso ao nosso caso, com b_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}}. Então precisamos estudar
Mini-aula sobre p\)-séries e teste do integral: a \(p\)-série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\) converge se, e somente se, \(p>1\). Uma forma direta de ver isso é o teste da integral: comparar \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\) com a integral imprópria \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx\). Calculando a integral,
\[\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{p-1}, & \text{se } p>1,\\[6pt] \text{diverge}, & \text{se } p\le 1. \end{cases}
Para p=2\] temos \(\int_{1}^{\infty} x^{-2}\,dx = 1, finito, o que implica que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} converge. Portanto \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} converge, e isso mostra que a série dos valores absolutos da nossa série original converge.]
Passo 4
Conclusão sobre a primeira pergunta (didática): como \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} converge, a série original \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} converge absolutamente. Lembre-se: “converge absolutamente” é uma afirmação mais forte do que “converge” — se é absoluta, então converge sem dúvidas.
Passo 5
Agora vamos calcular a soma parcial até o quinto termo, passo a passo (a ideia prática para a prova): escrevemos os cinco termos e somamos com atenção aos sinais.
Para somar precisamente encontramos um denominador comum conveniente; os denominadores são 1,4,9,16,25 e o mínimo múltiplo comum é 3600. Transformando cada fração:
Como decimal (útil na prova quando pedem aproximação):
\frac{3019}{3600}\approx 0,838611111\\ (\text{arredondando às casas mostradas}).à
Passo 6
Bônus prático (erro da aproximação): dado que a série é alternada com termos de módulo \frac{1}{n^{2}} decrescentes, o Teorema das Séries Alternadas diz que o erro ao truncar depois de n termos tem módulo menor que o próximo termo. Então o erro ao usar S_{5} satisfaz