1. Questão

Calcule a derivada da função

f(x)=\frac{\left(x^{2}+1\right) \operatorname{cotg} x}{3-\cos x \operatorname{cossec} x}
\bigcirc -\frac{3 x^{2}+x+3+x \cos (2 x)-3 x \sin (2 x)}{(\cos x-3 \sin x)^{2}}
\bigcirc -\frac{x^{2}+x+3+x \cos (2 x)-3 x \sin (2 x)}{(\cos x-\sin x)^{2}}
\bigcirc -\frac{3 x^{2}+x+3+x \cos (2 x)-3 x \sin (2 x)}{(\cos x+\sin x)^{2}}
\bigcirc \frac{3 x^{2}+x+3+x \cos (x)-3 x \sin (x)}{(\cos x-3 \sin x)^{2}}
\bigcirc \frac{3 x^{2}+x+3+x \cos (2 x)-3 x \sin (2 x)}{(\cos x-3 \sin x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\left(x^{2}+1\right)\operatorname{cotg}x}{3-\cos x\operatorname{cossec}x}.
Informações fornecidas:
\text{numerador: }\left(x^{2}+1\right)\operatorname{cotg}x, \qquad \text{denominador: }3-\cos x\operatorname{cossec}x.
Não há figuras ou dados extras. O objetivo é obter f'(x) e compará‑lo com as alternativas dadas.

Passo 2

Primeiro vou esclarecer as notações trigonométricas (isso é importante para não errar na prova):
\operatorname{cotg}x=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, \qquad \operatorname{cossec}x=\csc x=\frac{1}{\sin x}.
Com isso a parte do enunciado \cos x\operatorname{cossec}x é simplesmente \cos x\cdot\csc x=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x. Portanto a função simplifica para
f(x)=\frac{(x^2+1)\cot x}{3-\cot x}.

Passo 3

Vou explicar a regra que vou usar: como f é quociente de duas funções N(x)=(x^2+1)\cot x e D(x)=3-\cot x, uso a regra do quociente.
Regra do quociente (fórmula): para \displaystyle f(x)=\frac{N(x)}{D(x)},
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^2}.
Aqui N'(x) é a derivada do numerador e D'(x) a do denominador. Vou calcular N'(x) e D'(x) passo a passo.

Passo 4

Derivadas trigonométricas que preciso (faça a prova decorando estas fórmulas):
\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x, \qquad \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x.
Também preciso da regra do produto para N(x)=(x^2+1)\cot x:
N'(x)= (x^2+1)'\cdot\cot x + (x^2+1)\cdot(\cot x)'.
Como (x^2+1)'=2x e (\cot x)'=-\csc^2 x, obtemos
N'(x)=2x\cot x-(x^2+1)\csc^2 x.

Passo 5

Agora a derivada do denominador D(x)=3-\cot x:
D'(x)= -(\cot x)' = -(-\csc^2 x)=\csc^2 x.

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{\bigl(2x\cot x-(x^2+1)\csc^2 x\bigr)(3-\cot x)-(x^2+1)\cot x\cdot\csc^2 x}{(3-\cot x)^2}.
Vou simplificar essa expressão transformando \cot e \csc em \cos e \sin, o que facilita a manipulação algébrica.

Passo 7

Use \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e \csc^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}. Chamando S=\sin x e C=\cos x para clareza:
N'(x)=\frac{2xC}{S}-\frac{x^2+1}{S^2}=\frac{2xCS-(x^2+1)}{S^2},
N(x)=\frac{(x^2+1)C}{S}, \qquad D(x)=\frac{3S-C}{S}, \qquad D'(x)=\frac{1}{S^2}.
Substituindo em f'(x) e colocando tudo sobre um denominador comum:
f'(x)=\frac{\dfrac{\bigl(2xCS-(x^2+1)\bigr)(3S-C)}{S^3}-\dfrac{(x^2+1)C}{S^3}}{\dfrac{(3S-C)^2}{S^2}}.

Passo 8

Simplifico a expressão dividindo frações: multiplicando numerador por S^2/(3S-C)^2 obtemos (após simplificação)
f'(x)=\frac{\bigl(2xCS-(x^2+1)\bigr)(3S-C)-(x^2+1)C}{S(3S-C)^2}.
Agora vou expandir o numerador (chamemos de A):
A=(2xCS-(x^2+1))(3S-C)-(x^2+1)C.
Expandindo:
A=6xS^2C-2xSC^2-(3x^2+3)S+(x^2+1)C-(x^2+1)C.
Observe que +(x^2+1)C e -(x^2+1)C se cancelam, sobrando
A=6xS^2C-2xSC^2-(3x^2+3)S.

Passo 9

Coloco A em fator com S:
A=S\bigl(6xSC-2xC^2-3x^2-3\bigr).
Substituindo em f'(x) (veja que há um fator S no denominador):
f'(x)=\frac{S\bigl(6xSC-2xC^2-3x^2-3\bigr)}{S(3S-C)^2}=\frac{6xSC-2xC^2-3x^2-3}{(3S-C)^2}.

Passo 10

Agora uso identidades de ângulo duplo para escrever em termos de \sin(2x) e \cos(2x), porque as alternativas estão assim:
SC=\frac{\sin(2x)}{2},\qquad C^2=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Substituindo em 6xSC-2xC^2-3x^2-3:
6xSC=6x\cdot\frac{\sin(2x)}{2}=3x\sin(2x),
-2xC^2=-2x\cdot\frac{1+\cos(2x)}{2}=-x(1+\cos(2x))=-x-x\cos(2x).
Somando tudo:
6xSC-2xC^2-3x^2-3=3x\sin(2x)-x-x\cos(2x)-3x^2-3.
Agrupando:
=-(3x^2+x+3+x\cos(2x)-3x\sin(2x)).

Passo 11

Quanto ao denominador, lembre que 3S-C=3\sin x-\cos x=-(\cos x-3\sin x), e elevando ao quadrado o sinal desaparece:
(3S-C)^2=(\cos x-3\sin x)^2.
Portanto juntando numerador e denominador temos
f'(x)=-\frac{3x^2+x+3+x\cos(2x)-3x\sin(2x)}{(\cos x-3\sin x)^2}.
Essa expressão coincide exatamente com a primeira alternativa do enunciado.

Resposta

\displaystyle -\frac{3 x^{2}+x+3+x \cos (2 x)-3 x \sin (2 x)}{(\cos x-3 \sin x)^{2}}

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