1. Questão
Calcule a derivada da função
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações fornecidas:
Não há figuras ou dados extras. O objetivo é obter
e compará‑lo com as alternativas dadas.
Passo 2
Primeiro vou esclarecer as notações trigonométricas (isso é importante para não errar na prova):
Com isso a parte do enunciado
é simplesmente
. Portanto a função simplifica para
Passo 3
Vou explicar a regra que vou usar: como
é quociente de duas funções
e
, uso a regra do quociente.
Regra do quociente (fórmula): para ,
Regra do quociente (fórmula): para
Aqui
é a derivada do numerador e
a do denominador. Vou calcular
e
passo a passo.
Passo 4
Derivadas trigonométricas que preciso (faça a prova decorando estas fórmulas):
Também preciso da regra do produto para
:
Como
e
, obtemos
Passo 5
Agora a derivada do denominador
:
Passo 6
Aplicando a regra do quociente:
Vou simplificar essa expressão transformando
e
em
e
, o que facilita a manipulação algébrica.
Passo 7
Use
e
. Chamando
e
para clareza:
Substituindo em
e colocando tudo sobre um denominador comum:
Passo 8
Simplifico a expressão dividindo frações: multiplicando numerador por
obtemos (após simplificação)
Agora vou expandir o numerador (chamemos de
):
Expandindo:
Observe que
e
se cancelam, sobrando
Passo 9
Coloco
em fator com
:
Substituindo em
(veja que há um fator
no denominador):
Passo 10
Agora uso identidades de ângulo duplo para escrever em termos de
e
, porque as alternativas estão assim:
Substituindo em
:
Somando tudo:
Agrupando:
Passo 11
Quanto ao denominador, lembre que
, e elevando ao quadrado o sinal desaparece:
Portanto juntando numerador e denominador temos
Essa expressão coincide exatamente com a primeira alternativa do enunciado.