Um ioiô tem inércia à rotação de 950 \mathrm{~g} . \mathrm{cm}^{2} e uma massa de 120 g . O raio do eixo é igual a 3,2 \mathrm{~mm}, e o cordão possui 120 cm de comprimento. O ioiô rola a partir do repouso para baixo até o fim do cordão. (a) Qual a intensidade da sua aceleração linear? (b) Qual é a tração no fio? (c) Quanto tempo leva para atingir o fim do cordão? Ao atingir o fim do cordão qual é a (c) velocidade linear, (d) energia cinética do sistema?

Passo 1

O enunciado descreve um ioiô que desce desencordando, combinando movimento de translação e rotação. Temos:
– Momento de inércia I=950\;\mathrm{g\cdot cm^2}=9{,}5\times10^{-5}\;\mathrm{kg\cdot m^2}
– Massa m=120\;\mathrm{g}=0{,}12\;\mathrm{kg}
– Raio do eixo R=3{,}2\;\mathrm{mm}=3{,}2\times10^{-3}\;\mathrm{m}
– Comprimento do fio L=120\;\mathrm{cm}=1{,}2\;\mathrm{m}
Pede-se:
(a) aceleração linear a,
(b) tração T,
(c) tempo t para descer L,
(d) velocidade v ao final,
(e) energia cinética total K.

Passo 2

Escrevemos as equações de Newton e de rotação. Na direção vertical:
m\,a = m\,g - T.
No giro em torno do centro, a tração produz torque T\,R e gera aceleração angular \alpha:
T\,R = I\,\alpha.
Como o fio não desliza, a aceleração linear e angular relacionam-se por
a = \alpha\,R.

Passo 3

Eliminando T e \alpha: de \alpha = a/R em T\,R=I\,\alpha vem
T = \frac{I}{R^2}\,a.
Substituindo em m\,a = m\,g - T:
m\,a = m\,g - \frac{I}{R^2}\,a \;\;\Longrightarrow\;\; a\!\Bigl(m + \frac{I}{R^2}\Bigr)=m\,g \;\;\Longrightarrow\;\; a = \frac{m\,g}{m + \dfrac{I}{R^2}}.
Numericamente,
\frac{I}{R^2}=\frac{9{,}5\times10^{-5}}{(3{,}2\times10^{-3})^2}\approx77{,}35,
a = \frac{0{,}12\cdot9{,}8}{0{,}12+77{,}35}\approx0{,}125\;\mathrm{m/s^2}.

Passo 4

A tração é
T = m\,g - m\,a = 0{,}12\,(9{,}8 - 0{,}125)\approx1{,}16\;\mathrm{N}.

Passo 5

Para descer L=1{,}2\;\mathrm{m} com aceleração constante a a partir do repouso,
L = \tfrac12\,a\,t^2 \;\Longrightarrow\; t = \sqrt{\frac{2\,L}{a}} = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}2}{0{,}125}} \approx4{,}38\;\mathrm{s}.

Passo 6

A velocidade final é
v = a\,t = 0{,}125\cdot4{,}38\approx0{,}548\;\mathrm{m/s}.
Ou pela fórmula v^2=2\,a\,L, dá o mesmo valor.

Passo 7

A energia cinética total é soma da translação e da rotação. Como \omega=v/R:
K = \tfrac12\,m\,v^2 + \tfrac12\,I\,\omega^2 = \tfrac12\cdot0{,}12\cdot(0{,}548)^2 + \tfrac12\cdot9{,}5\times10^{-5}\cdot\Bigl(\frac{0{,}548}{3{,}2\times10^{-3}}\Bigr)^{\!2} \approx0{,}018 + 1{,}393 \approx1{,}41\;\mathrm{J}.

Resposta

(a) a\approx0{,}125\;\mathrm{m/s^2}
(b) T\approx1{,}16\;\mathrm{N}
(c) t\approx4{,}38\;\mathrm{s}
(d) v\approx0{,}548\;\mathrm{m/s}
(e) K\approx1{,}41\;\mathrm{J}

Exercícios relacionados