O isótopo do carbono-14
ocorre naturalmente porém numa fração muito pequena em relação ao
é gerado na atmosfera a partir da interação de raios-g com
. Nos organismos vivos a quantidade relativa de
permanece constante devido a constante troca com os gases da atmosfera e das fontes de carbono que vem das árvores. Logo após uma árvore morrer a quantidade relativa de
começa a decair. Uma amostra medida tem uma quantidade relativa de
igual a 1 (unidade). Após 10 anos a quantidade relativa de
é de
do valor inicial. Determine a constante cinética e o tempo de meia-vida.
Passo 1
Então, o enunciado conta que assim que a árvore morre, o carbono-14 dela começa a decair exponencialmente. A gente tem:
- Quantidade inicial de
: (unidade qualquer) - Depois de 10 anos, sobrou
de , ou seja .
O conteúdo aqui é cinética de decaimento radioativo, que usa a lei do decaimento exponencial
onde
é a constante cinética. Além disso, precisamos lembrar que o tempo de meia-vida
satisfaz
Passo 2
Escrevendo a lei para
anos:
[
N(10)=N_0,e^{-k\cdot10}\quad\Longrightarrow\quad
0{,}99876,N_0
N_0,e^{-10k}.
]
]
Como
, podemos dividir e ficar com
Passo 3
Para achar
, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
Sabendo que
, vem
Passo 4
Agora, a meia-vida
é dada por
Como
e
, temos
ou seja cerca de
anos.
Resposta
Constante cinética
e meia-vida
anos.