O isótopo do carbono-14 ( ^14 C) ocorre naturalmente porém numa fração muito pequena em relação ao ^12 C O ^14 C é gerado na atmosfera a partir da interação de raios-g com ^15 N. Nos organismos vivos a quantidade relativa de ^14 C permanece constante devido a constante troca com os gases da atmosfera e das fontes de carbono que vem das árvores. Logo após uma árvore morrer a quantidade relativa de ^14 C começa a decair. Uma amostra medida tem uma quantidade relativa de ^14 C igual a 1 (unidade). Após 10 anos a quantidade relativa de ^14 C é de 99,876 % do valor inicial. Determine a constante cinética e o tempo de meia-vida.

Passo 1

Então, o enunciado conta que assim que a árvore morre, o carbono-14 dela começa a decair exponencialmente. A gente tem:
  • Quantidade inicial de N(t)=N0,e^-k,t,: N(t1/2)=tfrac12,N0Longrightarrow t1/2=ln 2k (unidade qualquer)
  • Depois de 10 anos, sobrou de , ou seja .
O conteúdo aqui é cinética de decaimento radioativo, que usa a lei do decaimento exponencial
onde é a constante cinética. Além disso, precisamos lembrar que o tempo de meia-vida satisfaz

Passo 2

Escrevendo a lei para N(10)=N0,e^-kcdot10Longrightarrow 0,99876,N0 = N0,e^-10k anos:
[
N(10)=N_0,e^{-k\cdot10}\quad\Longrightarrow\quad
0{,}99876,N_0

N_0,e^{-10k}.
]
Como 0,99876 = e^-10k , podemos dividir e ficar com

Passo 3

Para achar ln(0,99876) = -10,k Longrightarrow k = -110,ln(0,99876) , aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
k approx -110times(-0,001241) approx 1,241times10^-4,ano^-1
Sabendo que , vem

Passo 4

Agora, a meia-vida t1/2=ln2k é dada por
t1/2 approx 0,6931471,241times10^-4 approx 5,58times10^3 anos
Como e , temos
ou seja cerca de anos.

Resposta

Constante cinética e meia-vida anos.

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