1. (ITA/2007) Se A, B, C forem conjuntos tais que n(A \cup B)=23, n(B-A)=12, n(C-A)=10, \mathrm{n}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=6 \mathrm{e} \mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B} \cap \mathrm{C})=4, então \mathrm{n}(\mathrm{A}), \mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{C}), n(A \cup B \cup C), nesta ordem
    a) formam uma progressão aritmética de razão 6.
    b) formam uma progressão aritmética de razão 2.
    c) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11.
    d) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31.
    e) não formam uma progressão aritmética.

Passo 1

O enunciado dá cinco informações sobre os conjuntos A,B,C e pede os valores de
n(A),\quad n(A\cup C),\quad n(A\cup B\cup C)
Para isso vamos usar a definição de diferença de conjuntos, a fórmula da união de dois conjuntos e a fórmula da união de três conjuntos (princípio da inclusão-exclusão).

Passo 2

Da definição de diferença tem-se
n(B - A)=n(B)-n(A\cap B)=12
logo
n(B)=12 + n(A\cap B).
Como além disso
n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=23,
substituindo n(B) obtemos
n(A)+(12 + n(A\cap B)) - n(A\cap B)=23 \quad\Longrightarrow\quad n(A)+12=23 \quad\Longrightarrow\quad n(A)=11.

Passo 3

De modo análogo,
n(C - A)=n\text{(C)}-n(A\cap C)=10 \quad\Longrightarrow\quad n\text{(C)}=10 + n(A\cap C).
Para a união de A e C vale
n(A\cup C)=n(A)+n\text{(C)}-n(A\cap C) =11 + \bigl(10 + n(A\cap C)\bigr) - n(A\cap C) =21.

Passo 4

Pela inclusão–exclusão em três conjuntos,
n(A\cup B\cup C) = n(A)+n(B)+n\text{(C)} - n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C) + n(A\cap B\cap C).
Substituindo \,n(A)=11,\;n(B)=12+n(A\cap B),\;n\text{(C)}=10+n(A\cap C),\; n(B\cap C)=6,\;n(A\cap B\cap C)=4,
as contribuições n(A\cap B) e n(A\cap C) se cancelam, restando
n(A\cup B\cup C)=11+(12)+(10)-6+4=31.

Passo 5

Os três números são
n(A)=11,\quad n(A\cup C)=21,\quad n(A\cup B\cup C)=31.
Eles formam uma progressão aritmética de razão 10 cujo último termo é 31.

Resposta

(d) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31.

Exercícios relacionados