1. (ITA/2006) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(B \backslash A), n(A \backslash B) e n(A \cap B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r>0. Sabendo que n(B \backslash A)=4 e n(A \cup B)+r=64, então, \mathrm{n}(\mathrm{A} \backslash \mathrm{B}) é igual a
    a) 12
    b) 17
    c) 20
    d) 22
    e) 24

Passo 1

O enunciado trata de dois subconjuntos finitos A e B de um conjunto X. Precisamos usar conceitos de cardinalidade de união, interseção e diferença de conjuntos, além de uma progressão aritmética.

Passo 2

Chamemos
t_1 = n(B\setminus A),\quad t_2 = n(A\setminus B),\quad t_3 = n(A\cap B).
O enunciado diz que (t_1,t_2,t_3) formam uma progressão aritmética de razão r>0 e que t_1 = 4. Logo
t_1 = 4,\quad t_2 = 4 + r,\quad t_3 = 4 + 2r.

Passo 3

Sabemos que
n(A\cup B) = n(A\setminus B) + n(B\setminus A) + n(A\cap B) = t_2 + t_1 + t_3.
Substituindo os valores em função de r, obtemos
n(A\cup B) = (4+r) + 4 + (4+2r) = 12 + 3r.

Passo 4

O enunciado também informa que
n(A\cup B) + r = 64.
Substituindo n(A\cup B)=12+3r
12 + 3r + r = 64 \quad\Longrightarrow\quad 4r = 52 \quad\Longrightarrow\quad r = 13.

Passo 5

Logo
n(A\setminus B) = t_2 = 4 + r = 4 + 13 = 17.

Resposta

17

Exercícios relacionados