(ITA 2022) Considere o polinômio
e note que
. Considere no plano complexo o quadrilátero cujos vértices são as raízes de
. Podemos afirmar a área desse quadrilátero é
Passo 1
O enunciado fornece o polinômio de grau
com coeficientes reais e informa que
. A tarefa é achar todas as raízes, representar cada uma como ponto no plano complexo e, em seguida, calcular a área do quadrilátero formado por esses quatro pontos.
Passo 2
Como
é raiz e os coeficientes são reais,
também é raiz, logo
é fator de
. Dividindo
por
obtemos
Passo 3
As outras raízes vêm de
cuja fórmula de Bhaskara dá
Portanto as quatro raízes são
Passo 4
No plano complexo, esses pontos correspondem a
O quadrilátero
é um paralelogramo cujos lados adjacentes em
são
Passo 5
A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante formado por esses vetores:
Resposta
6