(ITA 2022) Considere o polinômio p(z)=z^{4}-6 z^{3}+14 z^{2}-6 z+13 e note que p(i)=0. Considere no plano complexo o quadrilátero cujos vértices são as raízes de p(z). Podemos afirmar a área desse quadrilátero é
\mathrm{A}() 4 . \quad \mathrm{B}() 6 . \quad \mathrm{C}(\quad) 8 . \quad \mathrm{D}(\quad) 9 . \quad \mathrm{E}(\quad) 10 .

Passo 1

O enunciado fornece o polinômio de grau 4 p(z)=z^{4}-6z^{3}+14z^{2}-6z+13
com coeficientes reais e informa que p(i)=0. A tarefa é achar todas as raízes, representar cada uma como ponto no plano complexo e, em seguida, calcular a área do quadrilátero formado por esses quatro pontos.

Passo 2

Como i é raiz e os coeficientes são reais, -i também é raiz, logo z^{2}+1 é fator de p(z). Dividindo p(z) por z^{2}+1 obtemos
p(z)=(z^{2}+1)\bigl(z^{2}-6z+13\bigr).

Passo 3

As outras raízes vêm de
z^{2}-6z+13=0,
cuja fórmula de Bhaskara dá
z=\frac{6\pm\sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm4i}{2}=3\pm2i.
Portanto as quatro raízes são
i,\;-i,\;3+2i,\;3-2i.

Passo 4

No plano complexo, esses pontos correspondem a
A=(0,1),\quad B=(3,2),\quad C=(3,-2),\quad D=(0,-1).
O quadrilátero ABCD é um paralelogramo cujos lados adjacentes em A são
\overrightarrow{AB}=(3,1),\quad \overrightarrow{AD}=(0,-2).

Passo 5

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante formado por esses vetores:
\text{Área}=\bigl|\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[6pt]1 & -2\end{pmatrix}\bigr| =\bigl|3\cdot(-2)-1\cdot0\bigr|=6.Á]

Resposta

6

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