(ITA 2023) Considere o polinômio p(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1. Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio q(x)=x^{10}-1 por p(x) e encontre todas as raízes complexas de p(x).

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1
e pede o quociente e o resto da divisão de
q(x)=x^{10}-1
por p(x), além de encontrar todas as raízes complexas de p(x).
Conteúdo: fatoração de potências e identificação de polinômica ciclotômica.

Passo 2

Observe que
x^{10}-1=(x^5)^2-1=(x^5-1)(x^5+1).
Além disso, x^5+1 fatora como
x^5+1=(x+1)\bigl(x^4 - x^3 + x^2 - x +1\bigr)=(x+1)\,p(x).

Passo 3

Da fatoração acima segue que p(x) divide x^5+1 e, portanto, também divide (x^5-1)(x^5+1)=x^{10}-1. Logo o resto da divisão de q(x) por p(x) é zero e o quociente é
\frac{x^{10}-1}{p(x)}=(x^5-1)(x+1).

Passo 4

Basta expandir o quociente:
(x^5-1)(x+1)=x^6 + x^5 - x -1.

Passo 5

O polinômio p(x) é exatamente o polinômio ciclotômico \Phi_{10}(x), cujas raízes são as raízes primitivas da unidade de ordem 10, ou seja
x_k = e^{2\pi i k/10}, \quad k\in\{1,3,7,9\}.
Em forma trigonométrica, são
e^{i\pi/5},\;e^{3i\pi/5},\;e^{7i\pi/5},\;e^{9i\pi/5}.

Resposta

Quociente: x^6 + x^5 - x -1
Resto: 0
Raízes de p(x):
e^{i\pi/5},\;e^{3i\pi/5},\;e^{7i\pi/5},\;e^{9i\pi/5}.

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