(ITA 2023) Considere o polinômio
. Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio
por
e encontre todas as raízes complexas de
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede o quociente e o resto da divisão de
por
, além de encontrar todas as raízes complexas de
.
Conteúdo: fatoração de potências e identificação de polinômica ciclotômica.
Conteúdo: fatoração de potências e identificação de polinômica ciclotômica.
Passo 2
Observe que
Além disso,
fatora como
Passo 3
Da fatoração acima segue que
divide
e, portanto, também divide
. Logo o resto da divisão de
por
é zero e o quociente é
Passo 4
Basta expandir o quociente:
Passo 5
O polinômio
é exatamente o polinômio ciclotômico
, cujas raízes são as raízes primitivas da unidade de ordem 10, ou seja
Em forma trigonométrica, são
Resposta
Quociente:
Resto:
Raízes de :
Resto:
Raízes de