Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
. Após isso, usando algum dos métodos para análise de séries numéricas, determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado fornece a série
O que pede:
- Encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
, ou seja , onde
- Dizer se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar a soma.
Informações relevantes dadas: a fórmula do termo geral é
Passo 2
Vamos calcular explicitamente os primeiros termos
(este passo ajuda a somar depois):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 3
Agora montamos as somas parciais
e calculamos
passo a passo, mostrando a aritmética com frações.
-
:
-
:
Para somar, usamos denominador comum
:
logo
-
:
Denominador comum
:
portanto
-
:
Denominador comum
(mínimo múltiplo de
e
):
logo
Posso também dar aproximações decimais rápidas para intuir o comportamento:
Passo 4
Agora vamos decidir se a série converge ou diverge. Primeiro, lembro (e explico) um teste fundamental:
Teste do termo geral (ou teste da divergência): para uma série
ser convergente é necessário que
Isto é, se
(ou não existir), então a série diverge. Esta é uma condição necessária (não suficiente): quando os termos não tendem a zero a soma não pode se estabilizar.
Passo 5
Aplicando o teste do termo geral ao nosso
: calculemos o limite quando
. Dividindo numerador e denominador por
,
Como
pelo teste do termo geral concluímos que a série diverge. Não é preciso mais testes: a condição necessária para convergência falha.
Passo 6
Para intuição adicional (didática): nota-se que se
, então os termos não só não tendem a zero como ficam próximos de
para
grande; somar infinitos termos aproximadamente iguais a
faz as somas parciais crescerem sem limite (tendem a
). Também existe uma decomposição exata útil:
que mostra que
. O primeiro termo cresce linearmente com
, e o segundo cresce apenas logaritmicamente; portanto
. Isso consolida a conclusão de divergência (e explica por que os primeiros quatro
já crescem).
Resposta
A série diverge (não é convergente), logo não possui soma finita.