Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \left\{s_{n}\right\}. Após isso, usando algum dos métodos para análise de séries numéricas, determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2 n+1}{3 n+2}

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{3n+2}
O que pede:
  • Encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{s_n\}, ou seja s_1,s_2,s_3,s_4, onde
s_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{2k+1}{3k+2}.
  • Dizer se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar a soma.
Informações relevantes dadas: a fórmula do termo geral é
a_n=\frac{2n+1}{3n+2}.

Passo 2

Vamos calcular explicitamente os primeiros termos a_n (este passo ajuda a somar depois):
  • Para n=1:
a_1=\frac{2\cdot1+1}{3\cdot1+2}=\frac{3}{5}.
  • Para n=2:
a_2=\frac{2\cdot2+1}{3\cdot2+2}=\frac{5}{8}.
  • Para n=3:
a_3=\frac{2\cdot3+1}{3\cdot3+2}=\frac{7}{11}.
  • Para n=4:
a_4=\frac{2\cdot4+1}{3\cdot4+2}=\frac{9}{14}.

Passo 3

Agora montamos as somas parciais s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k e calculamos s_1,s_2,s_3,s_4 passo a passo, mostrando a aritmética com frações.
  • s_1:
s_1=a_1=\frac{3}{5}.
  • s_2:
s_2=a_1+a_2=\frac{3}{5}+\frac{5}{8}.
Para somar, usamos denominador comum 40:
\frac{3}{5}=\frac{24}{40},\qquad \frac{5}{8}=\frac{25}{40},
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s_2=\frac{24+25}{40}=\frac{49}{40}.
  • s_3:
s_3=s_2+a_3=\frac{49}{40}+\frac{7}{11}.
Denominador comum 440:
\frac{49}{40}=\frac{49\cdot11}{440}=\frac{539}{440},\qquad \frac{7}{11}=\frac{7\cdot40}{440}=\frac{280}{440},
portanto
s_3=\frac{539+280}{440}=\frac{819}{440}.
  • s_4:
s_4=s_3+a_4=\frac{819}{440}+\frac{9}{14}.
Denominador comum 3080 (mínimo múltiplo de 440 e 14):
\frac{819}{440}=\frac{819\cdot7}{3080}=\frac{5733}{3080},\qquad \frac{9}{14}=\frac{9\cdot220}{3080}=\frac{1980}{3080},
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s_4=\frac{5733+1980}{3080}=\frac{7713}{3080}.
Posso também dar aproximações decimais rápidas para intuir o comportamento:
s_1\approx0,6,\quad s_2\approx1,225,\quad s_3\approx1,86136,\quad s_4\approx2,50422.

Passo 4

Agora vamos decidir se a série converge ou diverge. Primeiro, lembro (e explico) um teste fundamental:
Teste do termo geral (ou teste da divergência): para uma série \sum a_n ser convergente é necessário que
\lim_{n\to\infty} a_n=0.
Isto é, se \lim_{n\to\infty} a_n\neq0 (ou não existir), então a série diverge. Esta é uma condição necessária (não suficiente): quando os termos não tendem a zero a soma não pode se estabilizar.

Passo 5

Aplicando o teste do termo geral ao nosso a_n=\dfrac{2n+1}{3n+2}: calculemos o limite quando n\to\infty. Dividindo numerador e denominador por n,
\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+2} =\lim_{n\to\infty}\frac{2+\tfrac{1}{n}}{3+\tfrac{2}{n}} =\frac{2+0}{3+0}=\frac{2}{3}.
Como
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{2}{3}\neq0,
pelo teste do termo geral concluímos que a série diverge. Não é preciso mais testes: a condição necessária para convergência falha.

Passo 6

Para intuição adicional (didática): nota-se que se a_n\to\frac{2}{3}, então os termos não só não tendem a zero como ficam próximos de \tfrac{2}{3} para n grande; somar infinitos termos aproximadamente iguais a \tfrac{2}{3} faz as somas parciais crescerem sem limite (tendem a +\infty). Também existe uma decomposição exata útil:
\frac{2n+1}{3n+2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{9n+6},
que mostra que s_n=\dfrac{2}{3}n-\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{9k+6}. O primeiro termo cresce linearmente com n, e o segundo cresce apenas logaritmicamente; portanto s_n\to+\infty. Isso consolida a conclusão de divergência (e explica por que os primeiros quatro s_n já crescem).

Resposta

s_1=\dfrac{3}{5}, s_2=\dfrac{49}{40}, s_3=\dfrac{819}{440}, s_4=\dfrac{7713}{3080}
A série diverge (não é convergente), logo não possui soma finita.

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