Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
, e obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
. - Obter uma fórmula para
em termos de . - Determinar se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar a soma.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- A série é
. - Os termos da série (para
) são, explicitamente,
.
Passo 2
Vamos escrever os primeiros termos e calcular as somas parciais uma a uma. Primeiro, observe que o primeiro termo é
Então:
O segundo termo é
. Somando com
:
O terceiro termo é
. Somando:
O quarto termo é
. Somando:
(Se quiser ver em decimal:
.)
Passo 3
Agora vamos obter uma fórmula geral para
. Primeiro reconhecemos que a série é geométrica porque cada termo é da forma
onde
é o primeiro termo e
é a razão. Aqui:
A soma parcial de uma progressão geométrica é dada pela dedução clássica: seja
Multiplicando por
:
Subtraindo as duas equações:
portanto
Isolando
obtemos a fórmula da soma parcial:
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao nosso caso com
e
, obtemos
Como
, simplificando:
Passo 5
Determinar convergência: para uma série geométrica com razão
, se
então
quando
e a série converge; se
diverge. Aqui
e
, logo a série é convergente.
A soma da série infinita é o limite das somas parciais quando
:
Resposta
Convergente; soma da série