Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \left\{s_{n}\right\}, e obtenha uma fórmula para s_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{5^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{s_{n}\}.
  • Obter uma fórmula para s_{n} em termos de n.
  • Determinar se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar a soma.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • A série é \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{5^{\,n-1}}.
  • Os termos da série (para n=1,2,3,\dots) são, explicitamente,
    \displaystyle \frac{2}{5^{0}},\\ \frac{2}{5^{1}},\\ \frac{2}{5^{2}},\\ \dots.

Passo 2

Vamos escrever os primeiros termos e calcular as somas parciais uma a uma. Primeiro, observe que o primeiro termo é
\frac{2}{5^{0}}=2.
Então:
  • \displaystyle s_{1}=2.
O segundo termo é \displaystyle \frac{2}{5}. Somando com s_{1}:
s_{2}=2+\frac{2}{5}= \frac{10}{5}+\frac{2}{5}=\frac{12}{5}.
O terceiro termo é \displaystyle \frac{2}{5^{2}}=\frac{2}{25}. Somando:
s_{3}=s_{2}+\frac{2}{25}=\frac{12}{5}+\frac{2}{25}=\frac{60}{25}+\frac{2}{25}=\frac{62}{25}.
O quarto termo é \displaystyle \frac{2}{5^{3}}=\frac{2}{125}. Somando:
s_{4}=s_{3}+\frac{2}{125}=\frac{62}{25}+\frac{2}{125}=\frac{310}{125}+\frac{2}{125}=\frac{312}{125}.
(Se quiser ver em decimal: s_{1}=2,\\ s_{2}=2{,}4,\\ s_{3}=2{,}48,\\ s_{4}=2{,}496.)

Passo 3

Agora vamos obter uma fórmula geral para s_{n}. Primeiro reconhecemos que a série é geométrica porque cada termo é da forma
\text{termo}_n = a\;r^{\,n-1},
onde a é o primeiro termo e r é a razão. Aqui:
a=\frac{2}{5^{0}}=2,\qquad r=\frac{1}{5}.
A soma parcial de uma progressão geométrica é dada pela dedução clássica: seja
S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a\,r^{\,k-1}=a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n-1}.
Multiplicando por r:
r S_{n}=a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n}.
Subtraindo as duas equações:
S_{n}-r S_{n}=a - a r^{n},
portanto
S_{n}(1-r)=a(1-r^{n}).
Isolando S_{n} obtemos a fórmula da soma parcial:
S_{n}=\frac{a\bigl(1-r^{n}\bigr)}{1-r}.

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso caso com a=2 e r=\dfrac{1}{5}, obtemos
s_{n}=S_{n}=\frac{2\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr)}{1-\tfrac{1}{5}}.
Como 1-\tfrac{1}{5}=\tfrac{4}{5}, simplificando:
s_{n}=\frac{2\bigl(1-5^{-n}\bigr)}{4/5}=2\cdot\frac{5}{4}\bigl(1-5^{-n}\bigr)=\frac{5}{2}\bigl(1-5^{-n}\bigr).

Passo 5

Determinar convergência: para uma série geométrica com razão r, se |r|<1 então r^{n}\to 0 quando n\to\infty e a série converge; se |r|\ge1 diverge. Aqui r=\tfrac{1}{5} e |r|=\tfrac{1}{5}<1, logo a série é convergente.
A soma da série infinita é o limite das somas parciais quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} s_{n}=\lim_{n\to\infty} \frac{5}{2}\bigl(1-5^{-n}\bigr)=\frac{5}{2}\bigl(1-0\bigr)=\frac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle s_{1}=2
\displaystyle s_{2}=\frac{12}{5}
\displaystyle s_{3}=\frac{62}{25}
\displaystyle s_{4}=\frac{312}{125}
\displaystyle s_{n}=\frac{5}{2}\bigl(1-5^{-n}\bigr)
Convergente; soma da série =\displaystyle \frac{5}{2}

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