Nos itens abaixo, encontre a solução geral das EDO’s usando o Método dos Coeficientes a Determinar: y^{\prime \prime}+9 y=x^{2} e^{3 x}+6
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y'' + 9y = x^{2} e^{3x} + 6,
e pede a solução geral y(x). As informações relevantes do enunciado são:
A equação linear e não homogênea com operador linear L[y]=y''+9y.
O termo não-homogêneo (lado direito) é a soma de duas partes: \;x^{2}e^{3x}\; e \;6\;.
Precisamos encontrar a solução geral, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro encontro a solução geral da equação homogênea associada
y''+9y=0.
Resolver a homogênea significa achar as raízes da equação característica. A equação característica é
r^{2}+9=0.
As raízes são
r=\pm 3i.
Quando as raízes são puramente imaginárias \pm \omega i, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui expliquei o que cada símbolo significa: C_{1},C_{2} são constantes de integração que aparecerão na solução geral; o 3 vem da parte imaginária das raízes da característica.
Passo 3
Agora vou buscar uma solução particular y_{p} para a equação completa
y''+9y = x^{2}e^{3x}+6.
Pelo Método dos Coeficientes a Determinar (método das tentativas), escolhe-se um ansatz (forma proposta) para y_{p} com base na forma do termo forçante. O lado direito é soma de dois termos independentes, então posso procurar y_{p} como soma de duas partes particulares:
Para um termo da forma p(x)e^{\alpha x}, onde p(x) é um polinômio de grau n, tenta-se e^{\alpha x} vezes um polinômio de grau n, multiplicado por um fator x^{s} se e^{\alpha x} for solução da homogênea (resonância). Aqui \alpha=3.
Como r=3 NÃO é raiz da equação característica r^{2}+9=0 (as raízes são \pm 3i), não há ressonância com e^{3x}. Portanto para x^{2}e^{3x} tomo
y_{p1}(x)=e^{3x}P(x),
onde P(x) é um polinômio de grau 2:
P(x)=A x^{2}+B x + C,
com A,B,C a determinar.
Para o termo constante 6: como 0 não é raiz da característica (a característica não tem r=0), posso tentar uma constante:
y_{p2}(x)=D,
com D constante a determinar.
Então o ansatz total é
y_{p}(x)=e^{3x}(A x^{2}+B x + C) + D.
Passo 4
Agora calculo derivadas de y_{p1}=e^{3x}P(x). É conveniente usar a regra do produto e a derivada de e^{3x}.
Portanto a contribuição de y_{p1} ao lado esquerdo é e^{3x}\big(P''+6P'+18P\big). Quero que isso iguale a parte correspondente do forçante, que é x^{2}e^{3x}. Logo preciso que
P''(x)+6P'(x)+18P(x) = x^{2}.
Passo 5
Agora substituo P(x)=Ax^{2}+Bx+C e suas derivadas:
P'(x)=2A x + B,\qquad P''(x)=2A.
Então
P''+6P'+18P = 2A + 6(2A x + B) + 18(A x^{2}+B x + C).
Faço a expansão com calma:
2A + 12A x + 6B + 18A x^{2} + 18B x + 18C.
Agrupo termos por potências de x:
Coeficiente de x^{2}: 18A.
Coeficiente de x: 12A + 18B.
Termo constante: 2A + 6B + 18C.
Queremos que isso seja igual a x^{2}, ou seja, igual a 1\cdot x^{2} + 0\cdot x + 0. Assim obtemos o sistema para A,B,C: