Nos itens abaixo, encontre a solução geral das EDO’s usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
y^{\prime \prime}+9 y=x^{2} e^{3 x}+6

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y'' + 9y = x^{2} e^{3x} + 6,
e pede a solução geral y(x). As informações relevantes do enunciado são:
  • A equação linear e não homogênea com operador linear L[y]=y''+9y.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é a soma de duas partes: \;x^{2}e^{3x}\; e \;6\;.
  • Precisamos encontrar a solução geral, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro encontro a solução geral da equação homogênea associada
y''+9y=0.
Resolver a homogênea significa achar as raízes da equação característica. A equação característica é
r^{2}+9=0.
As raízes são
r=\pm 3i.
Quando as raízes são puramente imaginárias \pm \omega i, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui expliquei o que cada símbolo significa: C_{1},C_{2} são constantes de integração que aparecerão na solução geral; o 3 vem da parte imaginária das raízes da característica.

Passo 3

Agora vou buscar uma solução particular y_{p} para a equação completa
y''+9y = x^{2}e^{3x}+6.
Pelo Método dos Coeficientes a Determinar (método das tentativas), escolhe-se um ansatz (forma proposta) para y_{p} com base na forma do termo forçante. O lado direito é soma de dois termos independentes, então posso procurar y_{p} como soma de duas partes particulares:
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x),
com
y_{p1}(x)\\ \text{para}\\ x^{2}e^{3x},\qquad y_{p2}(x)\\ \text{para}\\\ 6.
Regras para escolher o ansatz:
  • Para um termo da forma p(x)e^{\alpha x}, onde p(x) é um polinômio de grau n, tenta-se e^{\alpha x} vezes um polinômio de grau n, multiplicado por um fator x^{s} se e^{\alpha x} for solução da homogênea (resonância). Aqui \alpha=3.
  • Como r=3 NÃO é raiz da equação característica r^{2}+9=0 (as raízes são \pm 3i), não há ressonância com e^{3x}. Portanto para x^{2}e^{3x} tomo
y_{p1}(x)=e^{3x}P(x),
onde P(x) é um polinômio de grau 2:
P(x)=A x^{2}+B x + C,
com A,B,C a determinar.
  • Para o termo constante 6: como 0 não é raiz da característica (a característica não tem r=0), posso tentar uma constante:
y_{p2}(x)=D,
com D constante a determinar.
Então o ansatz total é
y_{p}(x)=e^{3x}(A x^{2}+B x + C) + D.

Passo 4

Agora calculo derivadas de y_{p1}=e^{3x}P(x). É conveniente usar a regra do produto e a derivada de e^{3x}.
Se P(x) é um polinômio, então
y_{p1} = e^{3x}P,\qquad y'_{p1}=e^{3x}(3P+P'),\qquad y''_{p1}=e^{3x}(9P+6P'+P'').
Verificação rápida (apenas para checar): derivando y'_{p1}=e^{3x}(3P+P') obtém-se exatamente y''_{p1}=e^{3x}(9P+6P'+P'').
Substituo em L[y]=y''+9y apenas a parte y_{p1}:
y''_{p1}+9y_{p1}=e^{3x}\big(9P+6P'+P''\big)+9e^{3x}P = e^{3x}\big(P''+6P'+18P\big).
Portanto a contribuição de y_{p1} ao lado esquerdo é e^{3x}\big(P''+6P'+18P\big). Quero que isso iguale a parte correspondente do forçante, que é x^{2}e^{3x}. Logo preciso que
P''(x)+6P'(x)+18P(x) = x^{2}.

Passo 5

Agora substituo P(x)=Ax^{2}+Bx+C e suas derivadas:
P'(x)=2A x + B,\qquad P''(x)=2A.
Então
P''+6P'+18P = 2A + 6(2A x + B) + 18(A x^{2}+B x + C).
Faço a expansão com calma:
2A + 12A x + 6B + 18A x^{2} + 18B x + 18C.
Agrupo termos por potências de x:
  • Coeficiente de x^{2}: 18A.
  • Coeficiente de x: 12A + 18B.
  • Termo constante: 2A + 6B + 18C.
Queremos que isso seja igual a x^{2}, ou seja, igual a 1\cdot x^{2} + 0\cdot x + 0. Assim obtemos o sistema para A,B,C:
\begin{cases} 18A = 1,\\[4pt] 12A + 18B = 0,\\[4pt] 2A + 6B + 18C = 0. \end{cases}]

Passo 6

Resolvo o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
A=\dfrac{1}{18}.
Substituo A na segunda:
12\cdot \dfrac{1}{18} + 18B = 0.
Compute 12\cdot \dfrac{1}{18}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}. Então
\dfrac{2}{3} + 18B = 0 \quad\Rightarrow\quad 18B = -\dfrac{2}{3}.
Logo
B = -\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{18} = -\dfrac{2}{54} = -\dfrac{1}{27}.
Agora uso A e B na terceira equação:
2A + 6B + 18C = 0.
Calculo 2A = 2\cdot\dfrac{1}{18}=\dfrac{1}{9}. E 6B = 6\cdot\left(-\dfrac{1}{27}\right) = -\dfrac{6}{27} = -\dfrac{2}{9}.
Então
\dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{9} + 18C = 0 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{1}{9} + 18C = 0.
Portanto
18C = \dfrac{1}{9} \quad\Rightarrow\quad C = \dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{162}.
Assim os coeficientes são
A=\dfrac{1}{18},\qquad B=-\dfrac{1}{27},\qquad C=\dfrac{1}{162}.
Logo a parte particular associada a x^{2}e^{3x} é
y_{p1}(x)=e^{3x}\!\left(\dfrac{1}{18}x^{2}-\dfrac{1}{27}x + \dfrac{1}{162}\right).

Passo 7

Agora trato a parte constante 6. Proponho y_{p2}=D com D constante. Então y''_{p2}=0 e
y''_{p2}+9y_{p2}=9D.
Para que isso seja igual a 6 preciso de
9D=6 \quad\Rightarrow\quad D=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.
Portanto
y_{p2}(x)=\dfrac{2}{3}.

Passo 8

A solução particular total é a soma das partes:
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x) = e^{3x}\!\left(\dfrac{1}{18}x^{2}-\dfrac{1}{27}x + \dfrac{1}{162}\right) + \dfrac{2}{3}.
A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)+e^{3x}\!\left(\dfrac{1}{18}x^{2}-\dfrac{1}{27}x+\dfrac{1}{162}\right)+\dfrac{2}{3}

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