Nos itens abaixo, encontre a solução geral das EDO’s usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=-3 x e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da EDO
y'' - 2y' - 3y = -3x e^{-x}.
Informações dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O membro direito é -3x e^{-x}, que é um polinômio de grau 1 multiplicado por e^{ax} com a=-1.
O que precisamos entregar: a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular adequada ao membro direito.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y'' - 2y' - 3y = 0.
Explicação da técnica (característica): para EDOs lineares com coeficientes constantes, propõe-se y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica em r:
r^2 - 2r - 3 = 0.
Resolver a equação quadrática: fatorando,
r^2 - 2r - 3 = (r-3)(r+1)=0,
logo as raízes são r_1=3 e r_2=-1.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher um palpite para a solução particular usando o Método dos Coeficientes a Determinar.
Regra prática: se o membro direito é de forma P_m(x)e^{ax}, com P_m polinômio de grau m, então o palpite tem a forma x^s e^{ax} Q_m(x) onde Q_m é um polinômio de grau m com coeficientes desconhecidos, e s é o multiplicador devido à ressonância: s é a multiplicidade da raiz r=a na equação característica.
Aqui o membro direito é -3x e^{-x}, então a=-1 e P_m(x)= -3x tem grau m=1. A raiz r=-1 é de multiplicidade 1 na equação característica (vimos r=-1 como uma das raízes), então s=1. Portanto devemos multiplicar o palpite padrão por x^1.
Palpite padrão sem ressonância para um polinômio de grau 1 seria e^{-x}(Ax + B). Levando em conta s=1, o palpite particular será
y_p(x) = x \, e^{-x}(Ax + B) = e^{-x}\bigl(Ax^2 + Bx\bigr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Preparar cálculo das derivadas. Para simplificar a derivação, defina o polinômio
u(x) = Ax^2 + Bx,
logo
y_p(x) = e^{-x} u(x).
Usar a regra do produto e a derivada de e^{-x}: (e^{-x})' = -e^{-x}.
Primeira derivada:
u'(x) = 2Ax + B,
y_p' = (e^{-x}u)' = e^{-x}(u' - u).
Substituir u e u':
y_p' = e^{-x}\bigl(2Ax + B - (Ax^2 + Bx)\bigr) = e^{-x}\bigl(-A x^2 + (2A - B)x + B\bigr).

Passo 5

Calcular a segunda derivada usando o mesmo truque: se y_p' = e^{-x} v(x) então y_p'' = e^{-x}(v' - v).
Aqui
v(x) = -A x^2 + (2A - B)x + B,
v'(x) = -2Ax + (2A - B).
Logo
y_p'' = e^{-x}\bigl(v' - v\bigr).
Calcule v' - v:
v' - v = \bigl(-2Ax + 2A - B\bigr) - \bigl(-A x^2 + (2A - B)x + B\bigr).
Organizando termos:
v' - v = A x^2 + (-4A + B)x + (2A - 2B).
Portanto
y_p'' = e^{-x}\bigl(A x^2 + (-4A + B)x + (2A - 2B)\bigr).

Passo 6

Substituir y_p, y_p', y_p'' na parte esquerda da EDO e simplificar. A equação esquerda é y'' - 2y' - 3y. Como todos os termos têm fator e^{-x}, podemos fatorá-lo:
y_p'' - 2y_p' - 3y_p = e^{-x}\Bigl[\bigl(A x^2 + (-4A + B)x + (2A - 2B)\bigr) -2\bigl(-A x^2 + (2A - B)x + B\bigr) -3\bigl(A x^2 + Bx\bigr)\Bigr].
Agora combinar termo a termo (faça devagar na prova):
  • Coeficiente de x^2: A -2(-A) -3A = A + 2A -3A = 0.
  • Coeficiente de x: (-4A + B) -2(2A - B) -3B = (-4A + B) + (-4A + 2B) -3B = -8A.
  • Termo constante: (2A - 2B) -2B + 0 = 2A -4B.
Portanto
y_p'' - 2y_p' - 3y_p = e^{-x}\bigl(-8A x + (2A - 4B)\bigr).

Passo 7

Impor que a expressão acima seja igual ao membro direito da EDO, isto é
e^{-x}\bigl(-8A x + (2A - 4B)\bigr) = -3x e^{-x}.
Como e^{-x} é nunca nulo, igualam-se os polinômios:
  • Coeficiente de x: -8A = -3 \Rightarrow A = \dfrac{3}{8}.
  • Termo constante: 2A - 4B = 0 \Rightarrow 4B = 2A \Rightarrow B = \dfrac{A}{2} = \dfrac{3}{16}.

Passo 8

Construir a solução particular com os valores obtidos:
y_p(x) = e^{-x}\!\left(\dfrac{3}{8}x^2 + \dfrac{3}{16}x\right).
Pode-se fatorar \dfrac{3}{16}x se quiser:
y_p(x) = \dfrac{3}{16} x(2x+1) e^{-x}.

Passo 9

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} + e^{-x}\!\left(\dfrac{3}{8}x^2 + \dfrac{3}{16}x\right).
Opcionalmente fatorando e^{-x} nos termos que o têm:
y(x) = C_1 e^{3x} + e^{-x}\!\left(C_2 + \dfrac{3}{8}x^2 + \dfrac{3}{16}x\right).

Resposta

y(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}+e^{-x}\!\left(\dfrac{3}{8}x^2+\dfrac{3}{16}x\right)

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