Nos itens abaixo, encontre a solução geral das EDO’s usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da EDO
Informações dadas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O membro direito é
, que é um polinômio de grau 1 multiplicado por com .
O que precisamos entregar: a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular adequada ao membro direito.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Explicação da técnica (característica): para EDOs lineares com coeficientes constantes, propõe-se
. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica em
:
Resolver a equação quadrática: fatorando,
logo as raízes são
e
.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher um palpite para a solução particular usando o Método dos Coeficientes a Determinar.
Regra prática: se o membro direito é de forma
, com
polinômio de grau
, então o palpite tem a forma
onde
é um polinômio de grau
com coeficientes desconhecidos, e
é o multiplicador devido à ressonância:
é a multiplicidade da raiz
na equação característica.
Aqui o membro direito é
, então
e
tem grau
. A raiz
é de multiplicidade
na equação característica (vimos
como uma das raízes), então
. Portanto devemos multiplicar o palpite padrão por
.
Palpite padrão sem ressonância para um polinômio de grau 1 seria
. Levando em conta
, o palpite particular será
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Preparar cálculo das derivadas. Para simplificar a derivação, defina o polinômio
logo
Usar a regra do produto e a derivada de
:
.
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Substituir
e
:
Passo 5
Calcular a segunda derivada usando o mesmo truque: se
então
.
Aqui
Aqui
Logo
Calcule
:
Organizando termos:
Portanto
Passo 6
Substituir
na parte esquerda da EDO e simplificar. A equação esquerda é
. Como todos os termos têm fator
, podemos fatorá-lo:
Agora combinar termo a termo (faça devagar na prova):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Portanto
Passo 7
Impor que a expressão acima seja igual ao membro direito da EDO, isto é
Como
é nunca nulo, igualam-se os polinômios:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 8
Construir a solução particular com os valores obtidos:
Pode-se fatorar
se quiser:
Passo 9
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
Opcionalmente fatorando
nos termos que o têm: