Nos itens abaixo encontre uma solução geral para a equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y''-y'+2y=0.
Informações dadas e o que se busca:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
  • É homogênea (lado direito igual a zero) e tem coeficientes constantes.
  • Objetivo: determinar a família geral de soluções y(x) que satisfazem essa equação.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): para equações lineares homogêneas de ordem 2 com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo exponencial \,y(x)=e^{r x}\,. Essa escolha funciona porque derivando e^{r x} a forma se mantém proporcional a e^{r x}, permitindo reduzir a EDO a uma equação algébrica para r. Vou usar esse método porque é o mais direto e o padrão para esse tipo de problema.

Passo 3

Aplicando a ansatz \,y(x)=e^{r x}\,. Calcule as derivadas:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial:
r^{2} e^{r x} - r e^{r x} + 2 e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq 0 para qualquer x, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica:
r^{2}-r+2=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática \,r^{2}-r+2=0. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{1-8}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-7}}{2}.
O discriminante é negativo ( \Delta=1-8=-7), logo as raízes são complexas conjugadas. Escrevendo em termos de parte real e imaginária:
r=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{7}}{2}.
Aqui \,\alpha=\dfrac{1}{2}\, é a parte real e \,\beta=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\, é a parte imaginária positiva.

Passo 5

Explicar como obter a solução real geral a partir de raízes complexas: se as raízes da equação característica são \,r=\alpha\pm i\beta\,, então as duas soluções complexas independentes são e^{(\alpha+i\beta)x} e e^{(\alpha-i\beta)x}. Usando a fórmula de Euler,
e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)),
e a parte real e a parte imaginária são soluções reais independentes da EDO linear. Portanto a solução geral real pode ser escrita como combinação linear real dessas partes:
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.

Passo 6

Substituir os valores de \alpha e \beta encontrados:
\alpha=\frac{1}{2},\qquad \beta=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Logo a solução geral da equação dada é
y(x)=e^{\tfrac{1}{2}x}\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)\right),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Passo 7

Breve comentário prático (como usar na prova): se te derem condições iniciais y(x_{0})=y_{0} e y'(x_{0})=y_{1}, basta substituir x=x_{0} na expressão acima e também calcular y'(x) derivando a expressão (usar regra do produto e derivadas de \cos e \sin) para obter um sistema linear em C_{1},C_{2} e resolver esse sistema. Não é necessário tentar soluções com exponenciais complexas na hora da prova — a forma com expoente real multiplicando cosseno e seno é a forma final prática.

Resposta

y(x)=e^{\tfrac{1}{2}x}\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)\right)

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