Nos itens abaixo encontre uma solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e o que se busca:
- A equação é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
- É homogênea (lado direito igual a zero) e tem coeficientes constantes.
- Objetivo: determinar a família geral de soluções
que satisfazem essa equação.
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): para equações lineares homogêneas de ordem 2 com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo exponencial
. Essa escolha funciona porque derivando
a forma se mantém proporcional a
, permitindo reduzir a EDO a uma equação algébrica para
. Vou usar esse método porque é o mais direto e o padrão para esse tipo de problema.
Passo 3
Aplicando a ansatz
. Calcule as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Como
para qualquer
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 4
Resolver a equação quadrática
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
O discriminante é negativo (
), logo as raízes são complexas conjugadas. Escrevendo em termos de parte real e imaginária:
Aqui
é a parte real e
é a parte imaginária positiva.
Passo 5
Explicar como obter a solução real geral a partir de raízes complexas: se as raízes da equação característica são
, então as duas soluções complexas independentes são
e
. Usando a fórmula de Euler,
e a parte real e a parte imaginária são soluções reais independentes da EDO linear. Portanto a solução geral real pode ser escrita como combinação linear real dessas partes:
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Passo 6
Substituir os valores de
e
encontrados:
Logo a solução geral da equação dada é
com
.
Passo 7
Breve comentário prático (como usar na prova): se te derem condições iniciais
e
, basta substituir
na expressão acima e também calcular
derivando a expressão (usar regra do produto e derivadas de
e
) para obter um sistema linear em
e resolver esse sistema. Não é necessário tentar soluções com exponenciais complexas na hora da prova — a forma com expoente real multiplicando cosseno e seno é a forma final prática.