Ache uma solução geral para
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral para
. Observações importantes extraídas do enunciado:
- A equação é singular em
(os coeficientes têm e ); portanto a solução será buscada em intervalos que não contenham (em particular em ). - O objetivo: encontrar a solução geral (com constantes de integração) válida para
e comentar a impossibilidade de estender de forma clássica a .
Passo 2
Reconhecemos que, multiplicando a equação por
, obtemos uma equação do tipo de Euler–Cauchy (equidimensional):
Explico por que isso é útil: para equações de Euler a solução é procurada na forma
, porque derivadas de potências de
preservam a estrutura em potências de
e isso leva a uma equação algébrica para
.
Passo 3
Propondo
(com
), calculamos as derivadas:
Substituindo na equação multiplicada por
obtemos:
Fatorando
(e lembrando
para
), chega-se à equação característica:
Passo 4
Simplificando a equação característica:
Resolvendo a quadrática:
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas
.
Passo 5
Quando as raízes da equação característica de uma equação de Euler são
(com
), a solução geral complexa é uma combinação linear de
e
. Escrevendo isso aqui:
onde
podem ser complexos. Para obter soluções reais usamos a identidade
Aplicando a fórmula de Euler
transformamos a combinação linear complexa numa combinação real em cosseno e seno.
Passo 6
Para manter soluções reais e lidar corretamente com
usamos
no lugar de
(assim o argumento do log é positivo). Portanto, a parte real da combinação acima dá a solução real geral:
onde
são constantes reais arbitrárias. Aqui expliquei por que usei
: para quaisquer
temos
e
é bem definido; qualquer sinal extra que apareça ao trocar
por
pode ser absorvido nas constantes
, então a forma com
fornece a base real e completa de soluções.
Passo 7
Verificação rápida (para fixar a intuição): se escrevermos uma solução da forma
e calcularmos as derivadas e substituirmos na equação original, as identidades para derivadas de
satisfarão a equação porque as raízes da equação característica foram obtidas corretamente como
. Portanto a forma encontrada é consistente.
Observação final: a solução acima é válida para qualquer intervalo que não contenha
; em particular é válida para todos os
. Em
a equação tem singularidade e a solução não pode ser estendida de forma clássica sem um tratamento separado.
Resposta
válida para
, com
constantes reais.