Ache uma solução geral para t \leq 0.
y^{\prime \prime}(t)-\frac{1}{t} y^{\prime}(t)+\frac{5}{t^{2}} y(t)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''(t)-\frac{1}{t}y'(t)+\frac{5}{t^{2}}y(t)=0
e pede a solução geral para t\le 0. Observações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação é singular em t=0 (os coeficientes têm 1/t e 1/t^2); portanto a solução será buscada em intervalos que não contenham 0 (em particular em t<0).
  • O objetivo: encontrar a solução geral (com constantes de integração) válida para t<0 e comentar a impossibilidade de estender de forma clássica a t=0.

Passo 2

Reconhecemos que, multiplicando a equação por t^{2}, obtemos uma equação do tipo de Euler–Cauchy (equidimensional):
t^{2}y''(t)-t\,y'(t)+5y(t)=0.
Explico por que isso é útil: para equações de Euler a solução é procurada na forma y(t)=t^{r}, porque derivadas de potências de t preservam a estrutura em potências de t e isso leva a uma equação algébrica para r.

Passo 3

Propondo y(t)=t^{r} (com t\neq0), calculamos as derivadas:
y'(t)=r\,t^{r-1},\qquad y''(t)=r(r-1)\,t^{r-2}.
Substituindo na equação multiplicada por t^{2} obtemos:
t^{2}\big(r(r-1)t^{r-2}\big)-t\big(r t^{r-1}\big)+5 t^{r}=0.
Fatorando t^{r} (e lembrando t^{r}\neq0 para t\neq0), chega-se à equação característica:
r(r-1)-r+5=0.

Passo 4

Simplificando a equação característica:
r(r-1)-r+5 = r^{2}-r-r+5 = r^{2}-2r+5=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{2\pm\sqrt{(-16)}}{2}=1\pm 2i.
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas \,r=1\pm 2i.

Passo 5

Quando as raízes da equação característica de uma equação de Euler são \alpha\pm i\beta (com \beta\neq0), a solução geral complexa é uma combinação linear de t^{\alpha+i\beta} e t^{\alpha-i\beta}. Escrevendo isso aqui:
y(t)=C_{1}\,t^{1+2i}+C_{2}\,t^{1-2i},
onde C_{1},C_{2} podem ser complexos. Para obter soluções reais usamos a identidade
t^{1\pm 2i}=t^{1}t^{\pm 2i}=t\,e^{\pm 2i\ln t}.
Aplicando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta transformamos a combinação linear complexa numa combinação real em cosseno e seno.

Passo 6

Para manter soluções reais e lidar corretamente com t<0 usamos \ln\lvert t\rvert no lugar de \ln t (assim o argumento do log é positivo). Portanto, a parte real da combinação acima dá a solução real geral:
y(t)=\lvert t\rvert^{1}\Big(A\cos\big(2\ln\lvert t\rvert\big)+B\sin\big(2\ln\lvert t\rvert\big)\Big),
onde A,B são constantes reais arbitrárias. Aqui expliquei por que usei \lvert t\rvert: para quaisquer t<0 temos \lvert t\rvert=-t>0 e \ln\lvert t\rvert é bem definido; qualquer sinal extra que apareça ao trocar t por -\lvert t\rvert pode ser absorvido nas constantes A,B, então a forma com \lvert t\rvert^{1} fornece a base real e completa de soluções.

Passo 7

Verificação rápida (para fixar a intuição): se escrevermos uma solução da forma y(t)=\lvert t\rvert^{1}\cos(2\ln\lvert t\rvert) e calcularmos as derivadas e substituirmos na equação original, as identidades para derivadas de t^{\alpha}\cos(\beta\ln t) satisfarão a equação porque as raízes da equação característica foram obtidas corretamente como 1\pm 2i. Portanto a forma encontrada é consistente.
Observação final: a solução acima é válida para qualquer intervalo que não contenha 0; em particular é válida para todos os t<0. Em t=0 a equação tem singularidade e a solução não pode ser estendida de forma clássica sem um tratamento separado.

Resposta

y(t)=\lvert t\rvert\Big(C_{1}\cos\big(2\ln\lvert t\rvert\big)+C_{2}\sin\big(2\ln\lvert t\rvert\big)\Big)
válida para t<0, com C_{1},C_{2} constantes reais.

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