Nos itens abaixo, encotre f_{x}, f_{y} e f_{z}.
f(x, y, z)=1+x y^{2}-2 z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais f_{x}, f_{y} e f_{z} da função de três variáveis dada. As informações que temos são:
  • A função é f(x,y,z)=1+x y^{2}-2 z^{2}.
  • Precisamos determinar:
    • f_{x}(x,y,z) (derivada parcial em relação a x);
    • f_{y}(x,y,z) (derivada parcial em relação a y);
    • f_{z}(x,y,z) (derivada parcial em relação a z).

Passo 2

O que é derivada parcial? A derivada parcial de f em relação a uma variável, por exemplo x, mede a taxa de variação de f quando só x varia e as outras variáveis permanecem fixas. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Na prática, para calcular uma derivada parcial usa-se a mesma regra de diferenciação que se usa para funções de uma variável, tratando todas as outras variáveis como constantes. Regras úteis que vamos usar:
  • Regra da soma: a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais.
  • Constante em relação à variável: se uma expressão não depende da variável que estamos derivando, sua derivada é 0.
  • Regra da potência: \dfrac{d}{du} u^{n}=n u^{n-1} (aplicada à variável com respeito à qual derivamos).
  • Se houver um produto em que um fator é constante (por exemplo x\cdot y^{2} ao derivar em relação a x, y^{2} é constante), então a derivada é simplesmente a constante vezes a derivada do outro fator.

Passo 3

Calcular f_{x}(x,y,z).
  • Começando por cada termo: a derivada parcial de 1 em relação a x é 0 porque 1 não depende de x.
  • O termo x y^{2}: aqui, ao derivar em relação a x, y^{2} é tratado como constante. A derivada de x em relação a x é 1. Portanto a derivada parcial desse termo é y^{2}.
  • O termo -2 z^{2} não depende de x, então sua derivada parcial é 0.
    Somando os resultados:
f_{x}(x,y,z)=y^{2}.

Passo 4

Calcular f_{y}(x,y,z).
  • Derivada parcial de 1 em relação a y é 0.
  • Para x y^{2}: ao derivar em relação a y, x é constante. Aplicando a regra da potência em y^{2}, tem-se \dfrac{d}{dy}y^{2}=2y. Multiplicando pela constante x, obtemos x\cdot 2y=2xy.
  • O termo -2 z^{2} não depende de y, então sua derivada parcial é 0.
    Somando:
f_{y}(x,y,z)=2xy.

Passo 5

Calcular f_{z}(x,y,z).
  • Derivada parcial de 1 em relação a z é 0.
  • O termo x y^{2} não depende de z, então contribui 0.
  • O termo -2 z^{2}: aplicar a regra da potência. A derivada de z^{2} em relação a z é 2z. Multiplicando pelo coeficiente -2 -2\cdot 2z = -4z.
    Portanto:
f_{z}(x,y,z)=-4z.

Passo 6

Cheque rápido e dica para a prova: sempre identifique quais termos dependem da variável que está sendo diferenciada e trate os demais como constantes. Se um termo for do tipo constante vezes uma potência da variável, use a regra da potência e mantenha a constante multiplicando o resultado. Respire fundo — isso é repetitivo e mecânico, com prática fica natural!

Resposta

f_{x}(x,y,z)=y^{2}
f_{y}(x,y,z)=2xy
f_{z}(x,y,z)=-4z

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