Nos itens abaixo, encotre
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais
e
da função de três variáveis dada. As informações que temos são:
- A função é
. - Precisamos determinar:
-
(derivada parcial em relação a ); -
(derivada parcial em relação a ); -
(derivada parcial em relação a ).
-
Passo 2
O que é derivada parcial? A derivada parcial de
em relação a uma variável, por exemplo
, mede a taxa de variação de
quando só
varia e as outras variáveis permanecem fixas. Formalmente,
Na prática, para calcular uma derivada parcial usa-se a mesma regra de diferenciação que se usa para funções de uma variável, tratando todas as outras variáveis como constantes. Regras úteis que vamos usar:
- Regra da soma: a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais.
- Constante em relação à variável: se uma expressão não depende da variável que estamos derivando, sua derivada é
. - Regra da potência:
(aplicada à variável com respeito à qual derivamos). - Se houver um produto em que um fator é constante (por exemplo
ao derivar em relação a , é constante), então a derivada é simplesmente a constante vezes a derivada do outro fator.
Passo 3
Calcular
.
- Começando por cada termo: a derivada parcial de
em relação a é porque não depende de . - O termo
: aqui, ao derivar em relação a , é tratado como constante. A derivada de em relação a é . Portanto a derivada parcial desse termo é . - O termo
não depende de , então sua derivada parcial é .
Somando os resultados:
Passo 4
Calcular
.
- Derivada parcial de
em relação a é . - Para
: ao derivar em relação a , é constante. Aplicando a regra da potência em , tem-se . Multiplicando pela constante , obtemos . - O termo
não depende de , então sua derivada parcial é .
Somando:
Passo 5
Calcular
.
- Derivada parcial de
em relação a é . - O termo
não depende de , então contribui . - O termo
: aplicar a regra da potência. A derivada de em relação a é . Multiplicando pelo coeficiente dá .
Portanto:
Passo 6
Cheque rápido e dica para a prova: sempre identifique quais termos dependem da variável que está sendo diferenciada e trate os demais como constantes. Se um termo for do tipo constante vezes uma potência da variável, use a regra da potência e mantenha a constante multiplicando o resultado. Respire fundo — isso é repetitivo e mecânico, com prática fica natural!