★ Considere a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{cases}
a) A função é contínua em ( 0,0 )? Justifique sua resposta.
b) Determine as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
  • (a) A função é contínua em (0,0)? Justificar.
  • (b) Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • O valor de f no ponto (0,0) é f(0,0)=0.
  • A expressão de f para (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}.]

Passo 2

O que significa ser contínua em (0,0)?
Definição: f é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0).
Como f(0,0)=0, precisamos verificar se o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (0,0) existe e é igual a 0. Em funções de duas variáveis, um modo prático é testar limites ao longo de diferentes curvas que se aproximam de (0,0). Se encontrarmos duas curvas que dão limites diferentes, isso prova que o limite total não existe e, portanto, f não é contínua em (0,0).

Passo 3

Primeiro teste: aproximar por pontos com x=0, ou seja pela reta vertical passando pela origem. Para x=0 e y\neq0 temos
f(0,y)=\frac{0\cdot y^{2}}{0^{2}+y^{4}}=0.
Logo, ao aproximar (x,y)\to(0,0) com x=0 (isto é, (0,y)\to(0,0)), o limite é
\lim_{y\to0} f(0,y)=0.
Portanto, pelo caminho x=0 o limite dá 0, que é o valor de f(0,0).

Passo 4

Segundo teste: aproximar por uma curva onde x depende de y. Uma escolha natural aqui é tomar a curva
x=y^{2}.
Substituindo x=y^{2} em f (para y\neq0) obtemos
f(y^{2},y)=\frac{y^{2}\cdot y^{2}}{(y^{2})^{2}+y^{4}}=\frac{y^{4}}{y^{4}+y^{4}}=\frac{y^{4}}{2y^{4}}=\frac{1}{2}.
Assim, ao aproximar (x,y)\to(0,0) ao longo da curva x=y^{2} (i.e. y\to0 com x=y^{2}), o valor de f é identicamente \tfrac{1}{2} para y\neq0, então
\lim_{y\to0} f(y^{2},y)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Comparando os dois caminhos:
  • Pelo caminho x=0 o limite é 0.
  • Pelo caminho x=y^{2} o limite é \tfrac{1}{2}.
Como obtivemos limites diferentes ao aproximar a origem por duas curvas diferentes, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Pelo critério da definição de continuidade, isso implica que a função f NÃO é contínua em (0,0).

Passo 6

Agora vamos calcular as derivadas parciais no ponto (0,0). Lembrete da definição: a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0) é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h}.
Para y=0 e x=h (com h\neq0) temos, pela fórmula da função,
f(h,0)=\frac{h\cdot 0^{2}}{h^{2}+0^{4}}=0.
Portanto o quociente é
\frac{f(h,0)-0}{h}=\frac{0}{h}=0
para todo h\neq0. Assim o limite quando h\to0 é 0. Concluímos que
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.

Passo 7

Agora a derivada parcial em relação a y no ponto (0,0). Pela definição,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-0}{h}.
Para x=0 e y=h (com h\neq0) temos
f(0,h)=\frac{0\cdot h^{2}}{0^{2}+h^{4}}=0.
Assim o quociente é
\frac{f(0,h)-0}{h}=\frac{0}{h}=0
para todo h\neq0, e o limite quando h\to0 é 0. Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Resposta

(a) Não, f não é contínua em (0,0).
(b) \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0

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