Nos itens abaixo, resolva o PVI e determine o intervalo
onde está definida a solução.
Passo 1
O enunciado fornece o problema inicial (PVI):
O que ele pede:
- Determinar a solução
do PVI (a função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial). - Determinar o intervalo
onde essa solução está definida.
Informações relevantes dadas:
- A equação diferencial tem a forma
(observe que o denominador pode ser escrito como ). - A condição inicial é
. - Devemos ter cuidado com pontos em que o denominador
seja zero (isso tornaria o lado direito indefinido).
Passo 2
Identificar o tipo de equação e separar variáveis.
A equação pode ser reescrita isolando a derivada:
Esta é uma equação separável porque o lado direito é um produto de uma função que depende só de
e uma função que depende só de
(especificamente, aparece
multiplicando uma função de
). Para separar as variáveis multiplico ambos os lados por
, obtendo
Agora as variáveis estão separadas: todos os termos em
do lado esquerdo e todos os termos em
do lado direito. O próximo passo é integrar ambos os lados.
Passo 3
Integrar os dois lados.
Integral do lado esquerdo:
porque a primitiva de
em relação a
é
.
Integral do lado direito:
Aqui é conveniente usar a substituição
, então
. Assim
Igualando as primitivas (absorvendo as constantes num único
):
Passo 4
Resolver a constante de integração usando a condição inicial.
Multiplico por
para simplificar:
onde
é outra constante arbitrária.
Usando
, substituo
e
:
logo
.
Portanto a relação obtida é
Passo 5
Determinar o sinal e escrever a solução explícita.
Da igualdade anterior segue
A condição inicial
determina o sinal: em
a raiz quadrada dá
, e como queremos
escolhemos o sinal negativo. Assim a solução que satisfaz o PVI é
Explicação breve: a solução deve ser contínua e tomar o valor
em
; a escolha do sinal negativo garante isso.
Passo 6
Determinar o intervalo
de definição (domínio) da solução.
Do ponto de vista da expressão encontrada, a solução está definida quando o radicando é não-negativo:
Mas para todo
tem-se
. Logo
para todo
. Portanto o radicando é sempre positivo, nunca zera, então a raiz é bem definida para todo
.
Também é importante checar a expressão original do lado direito da ODE, que tem denominador
. Nesse ponto note-se que
sempre, então o único possível problema seria
. Mas a solução encontrada nunca atinge
porque isso exigiria
, o que não ocorre (já mostramos que o radicando é pelo menos
). Assim o lado direito da ODE permanece bem definido para todo
.
Pela existência e unicidade (função do lado direito e sua derivada em
são contínuas em um domínio onde
), a solução obtida é a única solução passando por
e é definida para todo
.
Portanto o intervalo máximo de definição é
.