Nos itens abaixo, resolva o PVI e determine o intervalo I onde está definida a solução.
y^{\prime}=2 x /\left(y+x^{2} y\right), y(0)=-2

Passo 1

O enunciado fornece o problema inicial (PVI):
y'=\frac{2x}{y+x^{2}y},\qquad y(0)=-2.
O que ele pede:
  • Determinar a solução y(x) do PVI (a função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial).
  • Determinar o intervalo I onde essa solução está definida.
Informações relevantes dadas:
  • A equação diferencial tem a forma \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{y(1+x^{2})} (observe que o denominador pode ser escrito como y(1+x^{2})).
  • A condição inicial é y(0)=-2.
  • Devemos ter cuidado com pontos em que o denominador y(1+x^{2}) seja zero (isso tornaria o lado direito indefinido).

Passo 2

Identificar o tipo de equação e separar variáveis.
A equação pode ser reescrita isolando a derivada:
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y(1+x^{2})}.
Esta é uma equação separável porque o lado direito é um produto de uma função que depende só de x e uma função que depende só de y (especificamente, aparece 1/y multiplicando uma função de x). Para separar as variáveis multiplico ambos os lados por y(1+x^{2})\,dx, obtendo
y\,dy=\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: todos os termos em y do lado esquerdo e todos os termos em x do lado direito. O próximo passo é integrar ambos os lados.

Passo 3

Integrar os dois lados.
Integral do lado esquerdo:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}+C_{1},
porque a primitiva de y em relação a y é y^{2}/2.
Integral do lado direito:
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Aqui é conveniente usar a substituição u=1+x^{2}, então du=2x\,dx. Assim
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx=\int \frac{1}{u}\,du=\ln(u)+C_{2}=\ln(1+x^{2})+C_{2}.
Igualando as primitivas (absorvendo as constantes num único C):
\frac{y^{2}}{2}=\ln(1+x^{2})+C.

Passo 4

Resolver a constante de integração usando a condição inicial.
Multiplico por 2 para simplificar:
y^{2}=2\ln(1+x^{2})+C',
onde C'=2C é outra constante arbitrária.
Usando y(0)=-2, substituo x=0 e y=-2:
(-2)^{2}=4=2\ln(1+0^{2})+C'=2\ln(1)+C'=0+C',
logo C'=4.
Portanto a relação obtida é
y^{2}=2\ln(1+x^{2})+4.

Passo 5

Determinar o sinal e escrever a solução explícita.
Da igualdade anterior segue
y=\pm\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+4\,}.
A condição inicial y(0)=-2 determina o sinal: em x=0 a raiz quadrada dá \sqrt{4}=2, e como queremos y(0)=-2 escolhemos o sinal negativo. Assim a solução que satisfaz o PVI é
y(x)=-\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+4\,}.
Explicação breve: a solução deve ser contínua e tomar o valor -2 em 0; a escolha do sinal negativo garante isso.

Passo 6

Determinar o intervalo I de definição (domínio) da solução.
Do ponto de vista da expressão encontrada, a solução está definida quando o radicando é não-negativo:
2\ln(1+x^{2})+4\ge 0.
Mas para todo x\in\mathbb{R} tem-se 1+x^{2}\ge 1\Rightarrow \ln(1+x^{2})\ge 0. Logo
2\ln(1+x^{2})+4\ge 4>0
para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o radicando é sempre positivo, nunca zera, então a raiz é bem definida para todo x\in\mathbb{R}.
Também é importante checar a expressão original do lado direito da ODE, que tem denominador y(1+x^{2}). Nesse ponto note-se que 1+x^{2}>0 sempre, então o único possível problema seria y=0. Mas a solução encontrada nunca atinge y=0 porque isso exigiria 2\ln(1+x^{2})+4=0, o que não ocorre (já mostramos que o radicando é pelo menos 4). Assim o lado direito da ODE permanece bem definido para todo x\in\mathbb{R}.
Pela existência e unicidade (função do lado direito e sua derivada em y são contínuas em um domínio onde y\neq 0), a solução obtida é a única solução passando por (0,-2) e é definida para todo x\in\mathbb{R}.
Portanto o intervalo máximo de definição é I=(-\infty,\infty).

Resposta

y(x)=-\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+4\,}
I=(-\infty,\infty)

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