Resolver o PVI:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
com a condição inicial
O que é pedido: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial, e então escolher a opção correta entre as alternativas fornecidas.
Informações relevantes que temos:
- A equação envolve
e sua derivada em combinação com o quociente . - A condição inicial é o ponto
. - Devemos ter cuidado com domínios e com valores de logaritmo (aparecem
nas integrais).
Passo 2
Observar a estrutura da equação para encontrar um substituto útil. Reescrevendo a equação em forma explícita:
Note que o termo
depende apenas da razão
e aparece também um termo
. Isso sugere a substituição padrão para problemas com homogeneidade em
:
Explicação do porquê: com
a expressão
fica simplesmente
, e a derivada de
em termos de
gera termos que costumam simplificar a equação, frequentemente transformando-a em uma equação separável.
Passo 3
Calcular
em função de
e
. Como
, pelo produto:
Substituir isso na equação original:
Cancelar os termos
em ambos os lados:
Passo 4
Agora a equação é separável. Isolar variáveis:
Passar termos em
para a esquerda e termos em
para a direita:
Integrar ambos os lados. Lembrete rápido de integração:
-
. -
.
Integrando:
onde
é constante de integração. Aqui é importante usar
porque a integral de
produz logaritmo do valor absoluto de
.
Passo 5
Resolver para
e voltar à variável
. Tomando logaritmo natural:
Lembrando que
, obtemos
Essa é a família geral de soluções parametrizada por
. Note que para que
faça sentido real, precisa-se ter
no domínio considerado.
Passo 6
Impor a condição inicial
para determinar
. Substituir
e
:
Como
, isso dá
Portanto
Substituindo
na solução geral:
Passo 7
Interpretar a solução encontrada e comparar com as alternativas. A solução obtida é
Entre as opções dadas, a que corresponde exatamente a essa expressão é a alternativa c. Observação: a alternativa apresenta a forma com valor absoluto interno em
, isto é compatível com a escrita rigorosa quando se considera domínios, então a alternativa c está coerente com a solução encontrada.
Resposta
c.