Resolver o PVI: x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=x e^{-y / x}+y, \quad y(1)=0
Escolha uma opção:
◯ a. y(x)=0
◯ b. \quad y(x)=-x \ln |-\ln | x|-1|
◯ c. y(x)=x \ln |\ln | x|+1|
◯ d. y(x)=-x \ln |\ln | x|+1|

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x e^{-y/x}+y,
com a condição inicial
y(1)=0.
O que é pedido: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial, e então escolher a opção correta entre as alternativas fornecidas.
Informações relevantes que temos:
  • A equação envolve y e sua derivada em combinação com o quociente y/x.
  • A condição inicial é o ponto (x,y)=(1,0).
  • Devemos ter cuidado com domínios e com valores de logaritmo (aparecem \ln|x| nas integrais).

Passo 2

Observar a estrutura da equação para encontrar um substituto útil. Reescrevendo a equação em forma explícita:
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=e^{-y/x}+\frac{y}{x}.
Note que o termo e^{-y/x} depende apenas da razão y/x e aparece também um termo \dfrac{y}{x}. Isso sugere a substituição padrão para problemas com homogeneidade em y/x:
\text{faça } v(x)=\frac{y(x)}{x}.ç
Explicação do porquê: com v=y/x a expressão y/x fica simplesmente v, e a derivada de y em termos de v gera termos que costumam simplificar a equação, frequentemente transformando-a em uma equação separável.

Passo 3

Calcular \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} em função de v e \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}. Como y=xv, pelo produto:
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}.
Substituir isso na equação original:
v+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=e^{-v}+v.
Cancelar os termos v em ambos os lados:
x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=e^{-v}.

Passo 4

Agora a equação é separável. Isolar variáveis:
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=\frac{e^{-v}}{x}.
Passar termos em v para a esquerda e termos em x para a direita:
e^{v}\,\mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}x}{x}.
Integrar ambos os lados. Lembrete rápido de integração:
  • \displaystyle\int e^{v}\,\mathrm{d}v = e^{v}+C.
  • \displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C.
    Integrando:
\int e^{v}\,\mathrm{d}v=\int \frac{\mathrm{d}x}{x}
e^{v}=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Aqui é importante usar \ln|x| porque a integral de 1/x produz logaritmo do valor absoluto de x.

Passo 5

Resolver para v e voltar à variável y. Tomando logaritmo natural:
v=\ln\!\bigl(\ln|x|+C\bigr).
Lembrando que v=y/x, obtemos
y=xv = x\ln\!\bigl(\ln|x|+C\bigr).
Essa é a família geral de soluções parametrizada por C. Note que para que \ln(\ln|x|+C) faça sentido real, precisa-se ter \ln|x|+C>0 no domínio considerado.

Passo 6

Impor a condição inicial y(1)=0 para determinar C. Substituir x=1 e y(1)=0:
0 = 1\cdot \ln\!\bigl(\ln|1|+C\bigr).
Como \ln|1|=0, isso dá
\ln C = 0.
Portanto
C=1.
Substituindo C=1 na solução geral:
y(x)=x\ln\!\bigl(\ln|x|+1\bigr).

Passo 7

Interpretar a solução encontrada e comparar com as alternativas. A solução obtida é
y(x)=x\ln\!\bigl(\ln|x|+1\bigr).
Entre as opções dadas, a que corresponde exatamente a essa expressão é a alternativa c. Observação: a alternativa apresenta a forma com valor absoluto interno em \ln, isto é compatível com a escrita rigorosa quando se considera domínios, então a alternativa c está coerente com a solução encontrada.

Resposta

c. y(x)=x\ln|\ln|x|+1|

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