Nos itens abaixo, tente encontrar soluções da forma
para a EDO dada.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar soluções da EDO
da forma
(ou, se necessário, a forma de Frobenius). Informações dadas e o que se busca:
- A equação é fornecida inteira e a expansão deve ser centrada em
. - Deve-se tentar representar as soluções por séries em potências de
(ou por séries de Frobenius, caso seja ponto singular). - Resultado esperado: recorrência para os coeficientes e as duas soluções fundamentais (uma associada a cada raiz do indicial).
Passo 2
Por que não começar direto com
sem pensar? Primeiro é útil ver o tipo de ponto
. Dividindo por
(para escrever na forma padrão) obtenho
Os coeficientes em frente de
e
têm polos em
(ordem
e
respectivamente), logo
é um ponto singular regular. Nesses casos a técnica apropriada é o método de Frobenius: procurar soluções da forma
onde
é um expoente a determinar (índice de Frobenius). Aqui vou aplicar Frobenius passo a passo (isso inclui o caso
quando
for inteiro).
Passo 3
Escrever as derivadas (tudo em série de Frobenius):
Substituindo na EDO:
Agrupando os termos com a mesma potência
: o último somatório muda de índice:
Portanto, para
obtemos a condição
Simplificando o coeficiente:
Passo 4
Indicial (equação em
). Para
(coeficiente de
) temos
Como
, a equação indicial é
Resolvendo:
Logo as duas raízes são
Como as raízes são distintas e não diferem por inteiro, teremos duas soluções de Frobenius independentes associadas a esses
.
Passo 5
Recorrência geral. Para
a condição dá
Assim a recorrência é
com
livre (constante de normalização) para cada escolha de
.
Passo 6
Construção da primeira solução:
.
Para
temos
. Calcule o denominador:
Portanto a recorrência simplifica muito:
Escolhendo
arbitrário (denotar
), obtenho os primeiros coeficientes:
Então a primeira solução pode ser escrita como
onde
e
satisfaz
. Explicitamente os primeiros termos:
Passo 7
Construção da segunda solução:
.
Para
temos
. O denominador vira
Logo a recorrência é
Tomando
(constante livre), os primeiros coeficientes são
Assim a segunda solução é
onde
e
. Escrevendo os primeiros termos:
Passo 8
Conclusão e como usar isso na prova (dica prática):
- A solução geral da EDO é combinação linear das duas soluções de Frobenius:
com
e
dadas acima e
constantes.
- Em prova, compute primeiro a equação indicial para achar
; depois derive a recorrência e calcule alguns termos explicitamente (como fiz) para demonstrar a forma das séries. Se precisar de muitos termos, aplique a recorrência direta.
Resposta
onde, para a solução com
,
e para a solução com
,