Determine a solução do PVI dado e descreva o comportamento da solução quando
nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) resolver o problema de valor inicial (PVI)
e (ii) descrever o comportamento da solução quando
.
Informações relevantes dadas:
- É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes que são potências de
. - As condições iniciais são dadas em
, ou seja, em um ponto positivo; portanto vamos trabalhar com . - A equação apresenta um ponto singular em
(coeficiente de é ), então ao analisar teremos que tomar cuidado com o comportamento próximo de zero.
Passo 2
Identificação do método (explicação didática)
- Para equações do tipo
(coefficients proporcionais a potências de ), usa-se o método de Euler–Cauchy: procura-se soluções da forma , onde é um número (possivelmente complexo). - Motivação curta: ao substituir
tem-se derivadas proporcionais a potências de que cancelam, transformando a ODE numa equação algébrica para (a chamada equação característica).
Vou aplicar isso aqui: proponho
com
.
Passo 3
Substituição
e obtenção da equação característica (passo a passo)
- Calcule as derivadas:
- Substituindo na ODE:
- Simplificando cada termo, todos têm fator
:
- Dividindo por
(não nulo para ):
- Desenvolvendo:
Essa é a equação característica quadrática.
Passo 4
Solução da equação característica
- Resolvo
usando a fórmula quadrática:
- Ou seja,
- Conclusão: as raízes são complexas conjugadas
com e .
Passo 5
Forma real geral da solução (caso raízes complexas) — explicação da fórmula usada
- Para Euler–Cauchy, se as raízes são
, a solução real geral é
onde
são constantes reais.
- Intuição: a parte
vem da magnitude e o vêm da parte imaginária que gera oscilações em .
Aplicando
e
, a solução geral é
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para obter
- Note que
e . Substituindo na expressão geral:
- Logo
Passo 7
Calcular
(com explicação detalhada) e usar
para obter
- Começo derivando a forma geral com
:
- Derivada em duas partes (produto):
. Para a derivada do argumento em , use . - Derivada completa:
- Fatorando
:
- Agora avalio em
: , , . Assim
- A condição é
, então
- Substituindo
e :
Passo 8
Escrever a solução particular final e simplificar um pouco
- Substituindo
e na solução geral:
- Podemos também notar o módulo/combinação dos coeficientes para descrever amplitude:
. Isso será útil para o comportamento em .
Passo 9
Descrever o comportamento de
quando
(detalhado e didático)
- Para
temos . O termo trigonométrico e oscilam infinitamente (pois o argumento tende a ). Então a solução apresenta oscilações cada vez mais rápidas em termos da variável próxima de zero. - A amplitude dessas oscilações é dada pelo fator multiplicativo
multiplicado por uma constante do tipo . Como quando , a amplitude das oscilações diverge: a solução fica oscilatória e não limitada, crescendo em módulo como . - Em resumo: quando
, oscila infinitamente e seu módulo cresce como uma ordem de grandeza proporcional a . Portanto é ilimitada ao se aproximar de zero e muda de sinal infinitas vezes.
Resposta
Comportamento quando
: a solução oscila infinitamente (devido aos termos
e
) e seu módulo cresce sem limite, com envelope assintótico proporcional a
.