Determine a solução do PVI dado e descreva o comportamento da solução quando x \rightarrow 0 nos seguintes casos:
2 x^{2} y^{\prime \prime}(x)+3 x y^{\prime}(x)+5 y(x)=0, y(1)=1, y^{\prime}(1)=-1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) resolver o problema de valor inicial (PVI)
2x^{2}y''(x)+3x y'(x)+5y(x)=0,\qquad y(1)=1,\qquad y'(1)=-1,
e (ii) descrever o comportamento da solução quando x\to 0.
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes que são potências de x.
  • As condições iniciais são dadas em x=1, ou seja, em um ponto positivo; portanto vamos trabalhar com x>0.
  • A equação apresenta um ponto singular em x=0 (coeficiente de y'' é 2x^2), então ao analisar x\to 0 teremos que tomar cuidado com o comportamento próximo de zero.

Passo 2

Identificação do método (explicação didática)
  • Para equações do tipo a x^{2}y''+b x y'+c y=0 (coefficients proporcionais a potências de x), usa-se o método de Euler–Cauchy: procura-se soluções da forma y(x)=x^{m}, onde m é um número (possivelmente complexo).
  • Motivação curta: ao substituir y=x^{m} tem-se derivadas proporcionais a potências de x que cancelam, transformando a ODE numa equação algébrica para m (a chamada equação característica).
Vou aplicar isso aqui: proponho y(x)=x^{m} com x>0.

Passo 3

Substituição y=x^{m} e obtenção da equação característica (passo a passo)
  • Calcule as derivadas: \;y'=m x^{m-1},\; y''=m(m-1)x^{m-2}.
  • Substituindo na ODE:
2x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)+3x\big(m x^{m-1}\big)+5 x^{m}=0.
  • Simplificando cada termo, todos têm fator x^{m}:
2m(m-1)x^{m}+3m x^{m}+5 x^{m}=0.
  • Dividindo por x^{m} (não nulo para x>0):
2m(m-1)+3m+5=0.
  • Desenvolvendo:
2m^{2}-2m+3m+5=2m^{2}+m+5=0.
Essa é a equação característica quadrática.

Passo 4

Solução da equação característica
  • Resolvo 2m^{2}+m+5=0 usando a fórmula quadrática:
m=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot2\cdot5}}{2\cdot2}=\frac{-1\pm\sqrt{1-40}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{-39}}{4}.
  • Ou seja,
m=\frac{-1}{4}\pm i\frac{\sqrt{39}}{4}.
  • Conclusão: as raízes são complexas conjugadas m=\alpha\pm i\beta com \alpha=-\tfrac{1}{4} e \beta=\tfrac{\sqrt{39}}{4}.

Passo 5

Forma real geral da solução (caso raízes complexas) — explicação da fórmula usada
  • Para Euler–Cauchy, se as raízes são m=\alpha\pm i\beta, a solução real geral é
y(x)=x^{\alpha}\big(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes reais.
  • Intuição: a parte x^{\alpha} vem da magnitude x^{\Re(m)} e o \cos(\beta\ln x),\sin(\beta\ln x) vêm da parte imaginária que gera oscilações em \ln x.
Aplicando \alpha=-\tfrac{1}{4} e \beta=\tfrac{\sqrt{39}}{4}, a solução geral é
y(x)=x^{-1/4}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{39}}{4}\ln x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{39}}{4}\ln x\big)\Big).

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(1)=1 para obter C_{1}
  • Note que \ln 1=0 e 1^{-1/4}=1. Substituindo x=1 na expressão geral:
y(1)=1=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
  • Logo
C_{1}=1.

Passo 7

Calcular y'(x) (com explicação detalhada) e usar y'(1)=-1 para obter C_{2}
  • Começo derivando a forma geral com C_{1}=1:
y(x)=x^{\alpha}\big(\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\big),\qquad \alpha=-\tfrac{1}{4},\\ \beta=\tfrac{\sqrt{39}}{4}.
  • Derivada em duas partes (produto): \frac{d}{dx}x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha-1}. Para a derivada do argumento em \ln x, use \frac{d}{dx}\ln x=\tfrac{1}{x}.
  • Derivada completa:
y'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\big(\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\big) + x^{\alpha}\big(-\beta\sin(\beta\ln x)\cdot\tfrac{1}{x}+C_{2}\beta\cos(\beta\ln x)\cdot\tfrac{1}{x}\big).
  • Fatorando x^{\alpha-1}:
y'(x)=x^{\alpha-1}\Big[\alpha\big(\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\big)+\beta\big(-\sin(\beta\ln x)+C_{2}\cos(\beta\ln x)\big)\Big].
  • Agora avalio em x=1: x^{\alpha-1}=1, \cos(0)=1, \sin(0)=0. Assim
y'(1)=\alpha(1+0)+\beta(0+C_{2}\cdot 1)=\alpha+\beta C_{2}.
  • A condição é y'(1)=-1, então
\alpha+\beta C_{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=\frac{-1-\alpha}{\beta}.
  • Substituindo \alpha=-\tfrac{1}{4} e \beta=\tfrac{\sqrt{39}}{4}:
-1-\alpha=-1-(-\tfrac{1}{4})=-\tfrac{3}{4},\qquad C_{2}=\frac{-\tfrac{3}{4}}{\tfrac{\sqrt{39}}{4}}=\frac{-3}{\sqrt{39}}.

Passo 8

Escrever a solução particular final e simplificar um pouco
  • Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=-\dfrac{3}{\sqrt{39}} na solução geral:
y(x)=x^{-1/4}\Big(\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{39}}{4}\ln x\big)-\dfrac{3}{\sqrt{39}}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{39}}{4}\ln x\big)\Big).
  • Podemos também notar o módulo/combinação dos coeficientes para descrever amplitude: \sqrt{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}=\sqrt{1+\dfrac{9}{39}}=\sqrt{\dfrac{16}{13}}=\dfrac{4}{\sqrt{13}}. Isso será útil para o comportamento em x\to 0.

Passo 9

Descrever o comportamento de y(x) quando x\to 0^{+} (detalhado e didático)
  • Para x\to 0^{+} temos \ln x\to -\infty. O termo trigonométrico \cos\!\big(\tfrac{\sqrt{39}}{4}\ln x\big) e \sin\!\big(\tfrac{\sqrt{39}}{4}\ln x\big) oscilam infinitamente (pois o argumento tende a -\infty). Então a solução apresenta oscilações cada vez mais rápidas em termos da variável x próxima de zero.
  • A amplitude dessas oscilações é dada pelo fator multiplicativo x^{-1/4} multiplicado por uma constante do tipo \sqrt{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}=\dfrac{4}{\sqrt{13}}. Como x^{-1/4}\to +\infty quando x\to 0^{+}, a amplitude das oscilações diverge: a solução fica oscilatória e não limitada, crescendo em módulo como x^{-1/4}.
  • Em resumo: quando x\to 0^{+}, y(x) oscila infinitamente e seu módulo cresce como uma ordem de grandeza proporcional a x^{-1/4}. Portanto y(x) é ilimitada ao se aproximar de zero e muda de sinal infinitas vezes.

Resposta

y(x)=x^{-1/4}\Big(\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{39}}{4}\ln x\big)-\dfrac{3}{\sqrt{39}}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{39}}{4}\ln x\big)\Big).
Comportamento quando x\to 0^{+}: a solução oscila infinitamente (devido aos termos \cos(\beta\ln x) e \sin(\beta\ln x)) e seu módulo cresce sem limite, com envelope assintótico proporcional a \dfrac{4}{\sqrt{13}}\,x^{-1/4}.

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