Os itens (c) e (d) são conhecidos com as Leis de Morgan. Generalizando teremos:
\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}^{c} \quad \mathrm{e} \quad\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}^{c}

Passo 1

Temos conjuntos A_{1},A_{2},\dots,A_{n} e queremos mostrar as Leis de Morgan generalizadas, a saber
\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\Bigr)^{c} =\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}^{c} \quad\text{e}\quad \Bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\Bigr)^{c} =\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.
Usaremos a definição de complemento e a noção de “elemento pertence” para provar cada igualdade.

Passo 2

Prova de \bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}=\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.
Seja x um elemento arbitrário. Então:
  1. x\in\bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}
    se, e somente se,
  2. x\notin\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}
    se, e somente se,
  3. para todo i\in\{1,\dots,n\}, x\notin A_{i}
    se, e somente se,
  4. para todo i\in\{1,\dots,n\}, x\in A_{i}^{c}
    se, e somente se,
  5. x\in\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.
Como x era arbitrário, concluímos
\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\Bigr)^{c} =\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.

Passo 3

Prova de \bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}=\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.
Seja x um elemento arbitrário. Então:
  1. x\in\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}
    se, e somente se,
  2. x\notin\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}
    se, e somente se,
  3. existe algum i\in\{1,\dots,n\} tal que x\notin A_{i}
    se, e somente se,
  4. existe algum i\in\{1,\dots,n\} tal que x\in A_{i}^{c}
    se, e somente se,
  5. x\in\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.
Logo,
\Bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\Bigr)^{c} =\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.

Resposta

\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\Bigr)^{c} =\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}^{c} \quad\text{e}\quad \Bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\Bigr)^{c} =\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.

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