Sejam
e
eventos do espaço amostral
, temos:
Passo 1
O enunciado pede para provar a famosa lei de De Morgan em teoria de conjuntos, que diz que o complementar da interseção de dois eventos
e
é igual à união dos complementares. Em outras palavras, queremos mostrar
Para isso vamos usar a definição de complementar e as propriedades de inclusão de conjuntos.
Passo 2
Mostramos primeiro que
. Seja
.
Pela definição de complementar, . Logo não ocorre simultaneamente
e
. Portanto vale pelo menos uma das opções:
ou
.
Pela definição de complementar,
- Se
, então , daí . - Se
, então , daí .
Em ambas as situações. Isso prova que
Passo 3
Agora mostramos a inclusão inversa
. Seja
.
Isso significa que ou
.
Isso significa que
- Se
, então , logo e portanto . - Se
, o argumento é análogo: implica e assim .
Em qualquer dos casos temos, o que mostra
Resposta
Como provamos ambas as inclusões, concluímos que