Sejam A, B e C eventos do espaço amostral \Omega, temos:
(A \cap B)^{c}=\left(A^{c} \cup B^{c}\right)

Passo 1

O enunciado pede para provar a famosa lei de De Morgan em teoria de conjuntos, que diz que o complementar da interseção de dois eventos A e B é igual à união dos complementares. Em outras palavras, queremos mostrar
(A \cap B)^{c} \;=\; A^{c}\cup B^{c}.
Para isso vamos usar a definição de complementar e as propriedades de inclusão de conjuntos.

Passo 2

Mostramos primeiro que (A \cap B)^{c}\subseteq A^{c}\cup B^{c}. Seja x\in (A \cap B)^{c}.
Pela definição de complementar, x\notin A\cap B. Logo não ocorre simultaneamente x\in A e x\in B. Portanto vale pelo menos uma das opções: x\notin A ou x\notin B.
  • Se x\notin A, então x\in A^{c}, daí x\in A^{c}\cup B^{c}.
  • Se x\notin B, então x\in B^{c}, daí x\in A^{c}\cup B^{c}.
    Em ambas as situações x\in A^{c}\cup B^{c}. Isso prova que
(A \cap B)^{c}\subseteq A^{c}\cup B^{c}.

Passo 3

Agora mostramos a inclusão inversa A^{c}\cup B^{c}\subseteq (A \cap B)^{c}. Seja x\in A^{c}\cup B^{c}.
Isso significa que x\in A^{c} ou x\in B^{c}.
  • Se x\in A^{c}, então x\notin A, logo x\notin A\cap B e portanto x\in (A\cap B)^{c}.
  • Se x\in B^{c}, o argumento é análogo: x\notin B implica x\notin A\cap B e assim x\in (A\cap B)^{c}.
    Em qualquer dos casos temos x\in (A\cap B)^{c}, o que mostra
A^{c}\cup B^{c}\subseteq (A \cap B)^{c}.

Resposta

Como provamos ambas as inclusões, concluímos que
(A \cap B)^{c} \;=\; A^{c}\cup B^{c}.

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