Nos itens a seguir, calcule
e
para
e
quaisquer.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se calcule:
-
(o incremento verdadeiro de quando sofre um acréscimo), -
(a diferencial de , isto é, a aproximação linear do incremento), -
(a diferença entre o incremento verdadeiro e a aproximação linear).
Foi dito “para
e
quaisquer”, então vamos considerar um incremento qualquer de
que chamamos de
e, como o enunciado usa
, tomaremos
no final. Não resolvo nada neste passo, só organizei o que é pedido e as quantidades dadas.
Passo 2
Definição e cálculo de
.
A definição de incremento é
Aqui
. Substituindo:
Agora simplifico somando e cancelando termos semelhantes:
Agrupando em termos de
:
Como o enunciado usa
para o incremento, substituo
:
Passo 3
Definição e cálculo de
.
A diferencial
é definida pela fórmula da diferencial linear:
onde
é a derivada de
em
. Calculo a derivada:
Portanto
Passo 4
Cálculo de
e interpretação.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Cancelando o termo comum
,
Interpretação rápida: a diferença entre o incremento verdadeiro e a aproximação linear é da ordem de
, ou seja, quadrática em
. Para incrementos pequenos
tende a zero muito mais rápido do que
(por isso a aproximação linear funciona bem para
pequeno).