Nos itens a seguir, calcule \Delta y, d y e \Delta-d y para x e d x quaisquer.
y=x^{2}-2 x

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{2}-2x e pede que se calcule:
  • \Delta y (o incremento verdadeiro de y quando x sofre um acréscimo),
  • dy (a diferencial de y, isto é, a aproximação linear do incremento),
  • \Delta y - dy (a diferença entre o incremento verdadeiro e a aproximação linear).
Foi dito “para x e d x quaisquer”, então vamos considerar um incremento qualquer de x que chamamos de \Delta x e, como o enunciado usa d x, tomaremos \Delta x = d x no final. Não resolvo nada neste passo, só organizei o que é pedido e as quantidades dadas.

Passo 2

Definição e cálculo de \Delta y.
A definição de incremento é
\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x).
Aqui f(x)=x^{2}-2x. Substituindo:
\begin{aligned} \Delta y &= (x+\Delta x)^{2}-2(x+\Delta x) - \bigl(x^{2}-2x\bigr)\\[6pt] &= \bigl(x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}\bigr) -2x -2\Delta x -x^{2}+2x. \end{aligned}
Agora simplifico somando e cancelando termos semelhantes:
\Delta y = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} - 2\Delta x.
Agrupando em termos de \Delta x:
\Delta y = (2x-2)\,\Delta x + (\Delta x)^{2}.
Como o enunciado usa d x para o incremento, substituo \Delta x = d x:
\Delta y = (2x-2)\,d x + (d x)^{2}.]

Passo 3

Definição e cálculo de dy.
A diferencial dy é definida pela fórmula da diferencial linear:
dy = f'(x)\,d x,
onde f'(x) é a derivada de f em x. Calculo a derivada:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-2x\bigr)=2x-2.
Portanto
dy = (2x-2)\,d x.

Passo 4

Cálculo de \Delta y - dy e interpretação.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\Delta y - dy = \bigl((2x-2)\,d x + (d x)^{2}\bigr) - \bigl((2x-2)\,d x\bigr).
Cancelando o termo comum (2x-2)\,d x,
\Delta y - dy = (d x)^{2}.
Interpretação rápida: a diferença entre o incremento verdadeiro e a aproximação linear é da ordem de (d x)^{2}, ou seja, quadrática em d x. Para incrementos pequenos d x tende a zero muito mais rápido do que d x (por isso a aproximação linear funciona bem para d x pequeno).

Resposta

\Delta y=(2x-2)\,d x+(d x)^{2}
\,dy=(2x-2)\,d x
\Delta y-dy=(d x)^{2}

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