Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a antiderivada (primitiva) da função que aparece dentro da integral. Informações dadas:
- A integral é
. - Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida), então a resposta terá uma constante arbitrária
.
O objetivo é encontrar uma funçãotal que .
Passo 2
Explicando o que significa “antidiferenciação” de forma simples e descontraída: procurar
tal que ao derivar
volta-se ao integrando. Ou seja, a integral indefinida satisfaz
Ao resolver uma integral, uma boa estratégia é usar propriedades básicas (linearidade e regra do fator constante) e a regra da potência para antiderivadas.
Passo 3
Linearidade e fator constante: a integral de soma é soma das integrais, e uma constante pode sair da integral. Formalmente,
onde
é constante. Vou aplicar isso ao nosso integrando.
Passo 4
Aplicando a propriedade acima temos
Passo 5
Regra da potência para antiderivada (a parte teórica importante): para todo expoente
,
Aqui
é um número real (o expoente da potência). A condição
aparece porque, quando
,
e a antiderivada é
, não a fórmula acima.
Passo 6
Usando a regra da potência para cada termo:
- Para
,
- Para
,
As constantes
podem ser combinadas mais tarde numa única constante
.
Passo 7
Voltando à expressão com o fator
:
onde já juntei as constantes
em
.
Passo 8
Simplificando
dá
. Assim a primitiva obtida é
Passo 9
Verificação rápida (truque de prova): derivando a primitiva encontrada deve-se recuperar o integrando.
que é exatamente o integrando. Então está correta.