Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
\int\left(4 x^{3}+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a antiderivada (primitiva) da função que aparece dentro da integral. Informações dadas:
  • A integral é \displaystyle \int\left(4 x^{3}+x^{2}\right)\,dx.
  • Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida), então a resposta terá uma constante arbitrária C.
    O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=4x^{3}+x^{2}.

Passo 2

Explicando o que significa “antidiferenciação” de forma simples e descontraída: procurar F(x) tal que ao derivar F volta-se ao integrando. Ou seja, a integral indefinida satisfaz
\frac{d}{dx}F(x)=4x^{3}+x^{2}.
Ao resolver uma integral, uma boa estratégia é usar propriedades básicas (linearidade e regra do fator constante) e a regra da potência para antiderivadas.

Passo 3

Linearidade e fator constante: a integral de soma é soma das integrais, e uma constante pode sair da integral. Formalmente,
\int\big(a(x)+b(x)\big)\,dx=\int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx, \qquad \int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx,
onde c é constante. Vou aplicar isso ao nosso integrando.

Passo 4

Aplicando a propriedade acima temos
\int\left(4x^{3}+x^{2}\right)\,dx =4\int x^{3}\,dx+\int x^{2}\,dx.

Passo 5

Regra da potência para antiderivada (a parte teórica importante): para todo expoente n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é um número real (o expoente da potência). A condição n\neq -1 aparece porque, quando n=-1, x^{-1}=1/x e a antiderivada é \ln|x|, não a fórmula acima.

Passo 6

Usando a regra da potência para cada termo:
  • Para n=3,
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+C_{1}.
  • Para n=2,
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C_{2}.
As constantes C_{1},C_{2} podem ser combinadas mais tarde numa única constante C.

Passo 7

Voltando à expressão com o fator 4:
4\int x^{3}\,dx+\int x^{2}\,dx =4\left(\frac{x^{4}}{4}\right)+\frac{x^{3}}{3}+C,
onde já juntei as constantes C_{1},C_{2} em C.

Passo 8

Simplificando 4\left(\dfrac{x^{4}}{4}\right) x^{4}. Assim a primitiva obtida é
x^{4}+\frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 9

Verificação rápida (truque de prova): derivando a primitiva encontrada deve-se recuperar o integrando.
\frac{d}{dx}\!\left(x^{4}+\frac{x^{3}}{3}+C\right) =4x^{3}+\frac{3x^{2}}{3}+0 =4x^{3}+x^{2},
que é exatamente o integrando. Então está correta.

Resposta

\;x^{4}+\dfrac{x^{3}}{3}+C

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