Nos itens a seguir, diga quais condições os elementos
devem cumprir para que a igualdade seja satisfeita.
.
Passo 1
O enunciado fornece a igualdade entre dois conjuntos:
O que se pede: determinar quais condições os elementos
devem satisfazer para que essa igualdade seja verdadeira.
Informações relevantes dadas:
- O conjunto da esquerda tem exatamente dois elementos:
e . - O conjunto da direita tem exatamente dois elementos:
e . -
é o conjunto vazio (não contém elementos). -
denota o singleton cujo único elemento é .
Passo 2
Princípio-chave (extensionalidade de conjuntos): dois conjuntos são iguais se, e somente se, todo elemento do primeiro pertence ao segundo e vice-versa. Em prática, para conjuntos de dois elementos
e
, a igualdade
significa que ou
-
e , ou -
e .
Exemplo simples:porque os mesmos elementos aparecem, apenas em ordem diferente. Ordem não importa em conjuntos.
Passo 3
Para clareza, chamo:
A igualdade original é
. Pelas possibilidades acima, devemos ter ou (i)
e
, ou (ii)
e
. Vou analisar cada caso.
Passo 4
Caso (i):
e
.
-
é . Dois singletons são iguais exatamente quando seus elementos são iguais; logo
-
é . Ambos os lados são conjuntos com dois elementos, e ambos contêm . Pela extensionalidade, os outros elementos também devem coincidir, isto é,
Como novamente são singletons, isso implica
Portanto, do caso (i) obtemos
e
.
Passo 5
Caso (ii):
e
.
-
seria . O lado esquerdo é um singleton; o lado direito é, à primeira vista, um conjunto com dois elementos distintos ( e ). Para que um singleton seja igual a esse conjunto de dois elementos, esses dois elementos teriam de ser iguais entre si, isto é, seria necessário . Mas isso é impossível: não contém elementos, enquanto contém o elemento . Logo . Portanto não é possível ter . -
Assim o caso (ii) é impossível; não há correspondência onde o singleton coincide com o conjunto de dois elementos distintos.
Passo 6
Como a única possibilidade consistente é o caso (i), concluímos que a igualdade original exige que
Não existe outra combinação possível (trocas entre os dois elementos falham porque um é singleton e o outro tem dois elementos distintos).