Nos itens a seguir, diga quais condições os elementos a, b, c, d devem cumprir para que a igualdade seja satisfeita.
\{\{a\},\{\{b\}, \varnothing\}\} = \{\{c\},\{\{d\}, \varnothing\}\}.

Passo 1

O enunciado fornece a igualdade entre dois conjuntos:
\{\{a\},\{\{b\}, \varnothing\}\} = \{\{c\},\{\{d\}, \varnothing\}\}.
O que se pede: determinar quais condições os elementos a,\;b,\;c,\;d devem satisfazer para que essa igualdade seja verdadeira.
Informações relevantes dadas:
  • O conjunto da esquerda tem exatamente dois elementos: \{a\} e \{\{b\},\varnothing\}.
  • O conjunto da direita tem exatamente dois elementos: \{c\} e \{\{d\},\varnothing\}.
  • \varnothing é o conjunto vazio (não contém elementos).
  • \{x\} denota o singleton cujo único elemento é x.

Passo 2

Princípio-chave (extensionalidade de conjuntos): dois conjuntos são iguais se, e somente se, todo elemento do primeiro pertence ao segundo e vice-versa. Em prática, para conjuntos de dois elementos \{X,Y\} e \{U,V\}, a igualdade \{X,Y\}=\{U,V\} significa que ou
  • X=U e Y=V, ou
  • X=V e Y=U.
    Exemplo simples: \{1,2\}=\{2,1\} porque os mesmos elementos aparecem, apenas em ordem diferente. Ordem não importa em conjuntos.

Passo 3

Para clareza, chamo:
X=\{a\},\qquad Y=\{\{b\},\varnothing\},
U=\{c\},\qquad V=\{\{d\},\varnothing\}.
A igualdade original é \{X,Y\}=\{U,V\}. Pelas possibilidades acima, devemos ter ou (i) X=U e Y=V, ou (ii) X=V e Y=U. Vou analisar cada caso.

Passo 4

Caso (i): X=U e Y=V.
  • X=U é \{a\}=\{c\}. Dois singletons são iguais exatamente quando seus elementos são iguais; logo
\{a\}=\{c\}\quad\Rightarrow\quad a=c.
  • Y=V é \{\{b\},\varnothing\}=\{\{d\},\varnothing\}. Ambos os lados são conjuntos com dois elementos, e ambos contêm \varnothing. Pela extensionalidade, os outros elementos também devem coincidir, isto é,
\{b\}=\{d\}.
Como novamente são singletons, isso implica
b=d.
Portanto, do caso (i) obtemos a=c e b=d.

Passo 5

Caso (ii): X=V e Y=U.
  • X=V seria \{a\}=\{\{d\},\varnothing\}. O lado esquerdo é um singleton; o lado direito é, à primeira vista, um conjunto com dois elementos distintos ( \{d\} e \varnothing). Para que um singleton seja igual a esse conjunto de dois elementos, esses dois elementos teriam de ser iguais entre si, isto é, seria necessário \{d\}=\varnothing. Mas isso é impossível: \varnothing não contém elementos, enquanto \{d\} contém o elemento d. Logo \{d\}\neq\varnothing. Portanto não é possível ter \{a\}=\{\{d\},\varnothing\}.
  • Assim o caso (ii) é impossível; não há correspondência onde o singleton coincide com o conjunto de dois elementos distintos.

Passo 6

Como a única possibilidade consistente é o caso (i), concluímos que a igualdade original exige que
a=c\quad\text{e}\quad b=d.
Não existe outra combinação possível (trocas entre os dois elementos falham porque um é singleton e o outro tem dois elementos distintos).

Resposta

a=c
b=d

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